ServerVultr

Menurut Stevens (dalam Nazir, 2003) pengukuran adalah penetapan atau pemberian angka terhadap objek atau fenomena menurut aturan tertentu. Tiga buah kata kunci yang diperlukan dalam pengukuran adalah angka, penetapan, dan aturan.

Skala pengukuran merupakan, satu pengetahuan yang sangat penting sebelum seseorang melakukan pengolahan data. Skala pengukuran pertama kali diperkenalkan oleh S.S. Steven. Pada dasarnya setiap tools (alat bantu hitung) statistik tidak bisa digunakan begitu saja, ada persyaratan (asumsi yang harus dipenuhi), misalnya : skala data, distribusi data, independensi data, dan variabilitas data.

Berdasarkan sifatnya, ada empat pembedaan skala :

1.Skala nominal

Ukuran nominal adalah ukuran yang paling sederhana, dimana angka yang diberikan kepada objek mempunyai arti sebagai label saja, dan tidak menunjukkan tingkatan apa-apa. Objek dikelompokkan kedalam set-set, dan kepada semua anggota set diberikan angka. Set-set tersebut tidak boleh tumpang tindih dan bersisa (mutually exclusive and exhaustive)

Sifat dari Skala Nominal adalah membedakan.

Contoh : jenis kelamin (laki-laki, perempuan), agama (Islam, Katolik, Kristen, Hindu, Budha).

Contoh metode statistik : chi-square, crostab, analisis korespondensi, regresi logistik, latent profile analysis.

2.Skala ordinal

Ukuran ordinal adalah angka yang diberikan mengandung pengertian tingkatan. Ukuran nominal digunakan untuk mengurutkan objek dari yang terendah ke yang tertinggi atau sebaliknya. Ukuran ini tidak memberikan nilai absolut terhadap objek, tetapi hanya memberikan urutan (ranking) saja. Jika kita mempunyai sebuah set objek yang dinomori dari 1-n, yaitu N = a, b, c, d, …, n, dan sebuah set lain, yaitu R = 1, 2, 3, 4, …, n, dan dibuat korespondensi antara set R dengan set N dengan aturan dimana objek yang terkecil diberikan angka 1, objek terbesar kedua diberikan angka 2, dan seterusnya, maka telah digunakan ukuran ordinal.

Sifat dari skala Ordinal adalah membedakan, ada urutan.

Contoh : tingkat pendidikan (SD, SMP, SMU, Perguruan tinggi), nilai akreditasi (A, B, C, D, E).

Contoh metode statistik : korelasi spearman, ordinal logistic regression, attribute agreement analysis.

3.Skala interval

Seperti halnya dengan ukuran ordinal, ukuran interval adalah mengurutkan orang atau objek berdasarkan suatu atribut. Selain itu, juga memberikan informasi tentang interval antara satu orang atau objek dengan orang atau objek lainnya. Interval atau jarak yang sama pada skala interval dipandang sebagai mewakili interval atau jarak yang sama pula pada objek yang diukur. Jadi, kalau kita mengukur indeks prestasi (IP) lima orang mahasiswa dan diperoleh bahwa mahasiswa A mempunyai IP 4, B, 3,5, C, 3, D, 2,5, dan E, 2, maka dapatlah kita menyimpulkan

bahwa interval antara mahasiswa A dan C ( 4 – 3 = 1). Interval antara dua objek penelitian dapat dikurangi atau ditambahkan dengan interval dua objek lainnya.

Sifat dari skala interval adalah membedakan, ada urutan, memiliki jarak yang sama.

Contoh : usia, skor penilaian test psikologi.

Contoh metode statistik : korelasi pearson, analisis regresi, analisis faktor, K-means cluster, diskriminan.

4.Skala rasio

Ukuran rasio, adalah ukuran yang mencakup semua ukuran sebelumnya ditambah dengan satu sifat lain, yaitu ukuran ini memberikan keterangan tentang nilai absolut dari objek yang diukur. Ukuran rasio mempunyai titik nol, karena itu interval jarak tidak dinyatakan dengan beda angka rata-rata satu kelompok dibandingkan dengan titik nol. Karena ada titik nol tersebut, maka ukuran rasio dapat dibuat perkalian ataupun pembagian. Angka pada skala rasio menunjukkan nilai sebenarnya dari objek yang diukur.

Sifat : membedakan, ada urutan, memiliki nilai nol mutlak.

Contoh : nilai penjualan (sales), jumlah pelanggan.

Contoh metode statistik yang dapat digunakan :korelasi pearson, analisis regresi, analisis faktor, K-means cluster, analisis diskriminan, analisis time series.

�

�

�

�

�

�

�

�

Dalam perkuliahan filsafat matematika di semester ini, saya mendapat banyak pengetauan dan manfaat dari perkuliahan ini. Sebelum belajar filsafat seringkali kita berpikir bahwa filsafat itu hanyalah untuk orang-orang hebat. Seringkali orang beranggapan bahwa filsafat merupakan suatu ilmu yang sangat tinggi, bahwa apabila ada orang berbicara ada kata “Filsafat” pasti lawan bicara langsung menaggapi bahwa “Bahasa tingkat tinggi”. Banyak orang juga yang akan mengatakan bahwa dirinya tidak dapat atau tidak mampu berfilsafat. Kita seringkali tidak menyadari bahwa dalam kehidupan kita, kita selalu berfilsafat hanya saja karena kita tidak mengerti akan pengertian filfasat sehingga kita salah kaprah dalam memaknai filsafat.

Secara harafiah filsafat yaitu philosophy, adapun istilah filsafat berasal dari bahasa Yunani, philosophia, yang terdiri atas dua kata: philos(cinta) atau philia(persahabatan, tertarik kepada) dan shopia (hikmah, kebijaksanaan, pengetahuan, keterampilan, pengalaman praktis, inteligensi). Jadi secara etimologi, filsafat berarti cinta kebijaksanaan atau kebenaran. Plato menyebut Socrates sebagai philosophos(filosof) dalam pengertian pencinta kebijaksanaan. Filsafat adalah pandangan hidup seseorang atau sekelompok orang yang merupakan konsep dasar mcngenai kehidupan yang dicita-citakan. Filsafat juga diartikan sebagai suatu sikap seseorang yang sadar dan dewasa dalam memikirkan segala sesuatu secara mendalam dan ingin melihat dari segi yang luas dan menyeluruh dengan segala hubungan.  Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata filsafat menunjukkan pengertian yang dimaksud, yaitu pengetahuan dan penyelidikan dengan akal budi mengenai hakikat segala yang ada, sebab asal dan hukumnya.

Apabila mencermati pengertian filsafat di atas, kita akan menemukan bahwa ternyata filsafat itu sangat berkaitan erat dengan kehidupan. Segala sesuatu yang terjadi dalam kehidupan dapat kita jadikan sebagai filsafat. Dari pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa filsafat adalah ilmu olah pikir manusia. Jadi setiap pemikiran manusia itu adalah filsafat sehingga tidak lain dan tidak bukan filsafat itu adalah diri kita sendiri.

Memperhatikan dari kehidupan kita, hal-hal yang kita lakukan mulai dari bangun pagi hingga tertidur lelap, sessungguhnya filsaftat itu ada. Namun seringkali kita tidak memperhatikan itu, yang kita tahu hanya sebatas melakukan dan menjalani kehidupan ini tapa memaknai apa yang akan, sedang dan telah kita lakukan sebagai rutinitas saja. Kita hanya mengingat kejadian itu tanpa mengambil makna atau pembelajaran dari kehidupan itu. Yang kita tahu hanya peristiwa itu baik atau buruk, menyenangkan atau menyedihkan. Bahkan kita tidak pernah tahu atau mengingat apa yang telah kita lakukan.

Di dalam filsafat tidak ada pangkal dan tidak ada ujung. Di dalam filsafat tidak ada yang tidak mungkin, di dalam filsafat selalu berbicara mengenai yang ada dan yang mungkin ada. Seperti yang telah kita ketahui, bahwa filsafat merupakan ilmu olah pikir, studi tentang fenomena-fenomena yang terjadi dalam kehidupan kita. Filsafat tidak bisa kita dapatkan dari eksperimen atau percobaan, karena filsafat itu sifatnya murni, tidak dibuat-buat, tidak ada yang mampu membuat filsafat. Filsafat akan datang dengan sendirinya. Filsafat akan selalu menembus ruang dan waktu, sehingga filsafat itu akan bersifat relatif, tidak ada tolok ukur mengenai semua hal yang terjadi dalam kehidupan kita. Tidak ada yang dapat membenarkan dan menyalahkan semua hal yang ada dan yang mungkin ada. Semua bergantung bagaimana kita memikirkannya, dari sisi atau segi apa kita melihat dan memikirkannya. Mengingat bahwa filsafat berbicara mengenai yang ada dan yang mungkin ada maka, tidak ada yang dapat membatasi pikiran kita, sehingga tidak ada yang bisa membatasi filsafat. Manusia itu mempunyai dimensi yang lengkap, yaitu dimensi material, spiritual, formal, dan normatif.

Ruang itu dibatasi, dimensi yang mudah yaitu dimensi nol, dimensi satu, dimensi dua, dimensi tiga, dan yang lebih sulit yaitu dimensi empat, yang ruang awam mungkin tidak dapat memikirkannya. Orang matematika dapat menyebutkan ruang sampel, ruang acak, bangun ruang, dan sebagainya. Ruang dalam filsafat dapat meliputi normatif, formal, material, spiritual, suami istri, anak, dosen, mahasiswa, yang ada dan yang mungkin ada. Kemudian apa yang disebut dengan menembus, misalnya dikenalnya diri kita di kampung mempunyai kemampuan yg berbeda itu sebagai menembus ruang dan waktu secara formal. Apa yang disebut dengan waktu? Imannuel Kant membagi waktu menjadi tiga, yaitu waktu yang berurutan, berkelanjutan, dan berkesatuan. Untuk memahami waktu kita membutuhkan ruang. Mengapa demikian? Dalam menunjukan waktu, biasanya kita menggunakan jam, jam itulah sebagai ruang.

Filsafat, terutama filsafat Barat muncul di Yunani semenjak kira-kira abad ke-7 SM. Filsafat muncul ketika orang-orang mulai berpikir-pikir dan berdiskusi akan keadaan alam, dunia, dan lingkungan di sekitar mereka dan tidak menggantungkan diri kepada agama lagi untuk mencari jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini. Orang Yunani pertama yang bisa diberi gelar filosof ialah Thales dari Mileta, sekarang di pesisir barat Turki. Tetapi filosof-filosof Yunani yang terbesar tentu saja ialah: Socrates, Plato, dan Aristoteles. Socrates adalah guru Plato sedangkan Aristoteles adalah murid Plato. Bahkan ada yang berpendapat bahwa sejarah filsafat tidak lain hanyalah “komentar-komentar karya Plato belaka”. Hal ini menunjukkan pengaruh Plato yang sangat besar pada sejarah filsafat.

Filsafat Barat adalah ilmu yang biasa dipelajari secara akademis di universitas-universitas di Eropa dan daerah-daerah jajahan mereka. Filsafat ini berkembang dari tradisi falsafi orang Yunani kuno.

Filsafat Timur adalah tradisi falsafi yang terutama berkembang di Asia, khususnya di India, Tiongkok, dan daerah-daerah lain yang pernah dipengaruhi budayanya. Sebuah ciri khas filsafat timur ialah dekatnya hubungan filsafat dengan agama. Meskipun hal ini kurang lebih juga bisa dikatakan untuk filsafat barat, terutama di Abad Pertengahan, tetapi di Dunia Barat filsafat ’an sich’ masih lebih menonjol daripada agama.

Filsafat Islam ini sebenarnya mengambil tempat yang istimewa. Sebab dilihat dari sejarah, para filosof dari tradisi ini sebenarnya bisa dikatakan juga merupakan ahli waris tradisi Filsafat Barat (Yunani).

Aliran-aliran dalam filsafat

1. Rasionalisme

Rasionalisme adalah filsafat ilmu yang berpandangan bahwa rasio adalah sumber dari segala pengetahuan. Dengan demikian, kriteria kebenaran berbasis pada intelektualitas. Strategi pengembangan ilmu model rasionalisme, dengan demikian, adalah mengeksplorasi gagasan dengan kemampuan intelektual manusia. Sejak abad pencerahan, rasionalisme diasosiasikan dengan pengenalan metode matematika (Rasionalisme continental). Tokoh-tokoh rasionalisme diantaranya adalah Descartes, Leibniz, Socrates, Baruch Spinoza dan Spinoza.

2. Empirisme

Empirisme adalah sebuah orientasi filsafat yang berhubungan dengan kemunculan ilmu pengetahuan modern dan metode ilmiah. Empirisme menekankan bahwa ilmu pengetahuan manusia bersifat terbatas pada apa yang dapat diamati dan diuji. Oleh karena itu, aliran empirisme memiliki sifat kritis terhadap abstraksi dan spekulasi dalam membangun dan memperoleh ilmu. Strategi utama pemerolehan ilmu, dengan demikian, dilakukan dengan penerapan metode ilmiah. Para ilmuwan berkebangsaan Inggris seperti John Locke, George Berkeley dan David Hume adalah pendiri utama tradisi empirisme.

3. Realisme

Dalam pemikiran filsafat, realisme berpandangan bahwa kenyataan tidaklah terbatas pada pengalaman inderawi ataupun gagasan yang tebangun dari dalam. Dengan demikian realisme dapat dikatakan sebagai bentuk penolakan terhadap gagasan ekstrim idealisme dan empirisme. Dalam membangun ilmu pengetahuan, realisme memberikan teori dengan metode induksi empiris. Gagasan utama dari realisme dalam konteks pemerolehan pengetahuan adalah bahwa pengetahuan didapatkan dari dual hal, yaitu observasi dan pengembangan pemikiran baru dari observasi yang dilakukan. Dalam konteks ini, ilmuwan dapat saja menganalisa kategori fenomena-fenomena yang secara teoritis eksis walaupun tidak dapat diobservasi secara langsung. Tradisi realisme mengakui bahwa entitas yang bersifat abstrak dapat menjadi nyata (realitas) dengan bantuan symbol-simbol linguistik dan kesadaran manusia. Gagasan ini sejajar dengan filsafat modern dari pendekatan pengetahuan versi Kantianism fenonomologi sampai pendekatan structural.

4. Idealisme

Idealisme adalah tradisi pemikiran filsafat yang berpandangan bahwa doktrin tentang realitas eksternal tidak dapat dipahami secara terpisah dari kesadaran manusia. Dengan kata lain kategori dan gagasan eksis di dalam ruang kesadaran manusia terlebih dahulu sebelum adanya pengalaman-pengalaman inderawi. Pandangan Plato bahwa semua konsep eksis terpisah dari entitas materinya dapat dikatakan sebagai sumber dari pandangan idealism radikal. Karya dan pandangan Plato memberikan garis demarkasi yang jelas antara pikiran-pikiran idealis dengan pandangan materialis. Aritoteles menjadi orang yang memberikan tantangan pemikiran bagi gagasan-gagasan idealis Plato. Aristoteles mendasarkan pemikiran filsafatnya berdasarkan materi dan fisik.

5. Positivisme

Positivisme adalah doktrin filosofi dan ilmu pengetahuan sosial yang menempatkan peran sentral pengalaman dan bukti empiris sebagai basis dari ilmu pengetahuan dan penelitian. Terminologi positivisme dikenalkan oleh Auguste Comte untuk menolak doktrin nilai subyektif, digantikan oleh fakta yang bisa diamati serta penerapan metode ini untuk membangun ilmu pengetahuan yang diabdikan untuk memperbaiki kehidupan manusia. Tokoh-tokoh yang paling berpengaruh dalam mengembangkan tradisi positivisme adalah Thomas Kuhn, Paul K. Fyerabend, W.V.O. Quine, and filosof lainnya. Pikiran-pikiran para tokoh ini membuka jalan bagi penggunaan berbagai metodologi dalam membangun pengetahuan dari mulai studi etnografi sampai penggunaan analisa statistik.

6. Pragmatisme

Pragmatisme adalah mashab pemikiran filsafat ilmu yang dipelopori oleh C.S Peirce, William James, John Dewey, George Herbert Mead, F.C.S Schiller dan Richard Rorty. Tradisi pragmatism muncul atas reaksi terhadap tradisi idealis yang dominan yang menganggap kebenaran sebagai entitas yang abstrak, sistematis dan refleksi dari realitas. Pragmatisme berargumentasi bahwa filsafat ilmu haruslah meninggalkan ilmu pengetahuan transendental dan menggantinya dengan aktifitas manusia sebagai sumber pengetahuan. Bagi para penganut mashab pragmatisme, ilmu pengetahuan dan kebenaran adalah sebuah perjalanan dan bukan merupakan tujuan.

Sebelum kita masuk ke logika matematika, kita harus tahu dulu definisi logika tersebut yang nantinya sangat berperan dalam pemahaman logika matematika sendiri. Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika mempunyai beberapa manfaat, yaitu :

•     Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
•     Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
•     Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
•     Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis
•     Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir, kekeliruan, serta kesesatan.
•     Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
•     Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )
•     Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.

Setelah kita mengetahui tentang Logika kita akan lebih mudah dalam mempelajari logika matematika. Berikut ini hal-hal yang menyangkut logika matematika.

1. Pernyataan

Yang dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak  sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan matematika yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.

adversitemens
contoh :

6×5 = 30 ( pernyataan tertutup yang benar )

6+5=10 ( pernyataan tertutup yang salah )

gula putih rasanya manis ( pernyataan terbuka )

Jarak jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )

2. Ingkaran Pernyataan ( negasi )

Ingkaran merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar dinotasikan ~.

contoh :

pernyataan B              : Sepeda motor beroda dua

negasi pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua

3. Pernyataan Majemuk

3.1. Konjungsi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan majemuk konjungsi.

Jika menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga kita dapat menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.

3.2. Disjungsi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk disjungsi.

sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk disjungsi kita tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk disjungsinya.

3.3. Implikasi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk implikasi.

sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk implikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya.

3.4. Biimplikasi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut dengan biimplikasi dan dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk biimplikasi.

sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk biimplikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi.

4. Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk

Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan disamping.

Tidak perlu bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal.

5. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut

6. Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam yaitu :

6.1 Kuantor Universal

Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk setiap).

contoh : ∀ x ∈ R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.

6.2 Kuantor Eksistensial

Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian )

contoh : ∀ x ∈ R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.

7. Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.

contoh :

p : beberapa siswa SMA rajin belajar

~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar

8. Penarikan Kesimpulan

Penarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu :

8.1 Modus ponens

premis 1 : p →q

premis 2 : p             ( modus ponens)

__________________

Kesimpulan: q

Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → qdan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.  sebagai contoh :

premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senang

premis 2 : bapak datang

__________________

Kesimpulan: Adik senang

8.2 Modus Tollens

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

__________________

Kesimpulan: ~p

Modus Tollens berarti “jika diketahu p → qdan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“. sebagai contoh :

premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payung

premis 2 : Adik tidak memakai payung

___________________

Kesimpulan : Hari tidak hujan

8.3 Silogisme

premis 1 : p→q

premis 2 : q → r            ( silogisme)

_________________

Kesimpulan:  p →r

Silogisme berarti “jika diketahu p → qdan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“. sebagai contoh :

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

__________________________________________________

Kesimpulan:  Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.

Catatan Tambahan:

Hukum de Morgan:

¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)

Ekuivalensi implikasi:

(p → q) ≡ (¬p V q)

Apa pengertian fungsi? Jika sobat hitung memiliki bentuk persamaan y = f(x) bisa dikatakan sebagai y merupakan fungsi dari x, jika ada hubungannya antara variabel x dan variabel y sedemikian serupa sehingga untuk setiap x didapat tepat sebuah y. Bingung ya? Gampangnya fungsi adalah hubungan yang menerjemahkan hubungan antara x dengan y. Ia menghubungkan setiap x tepat dengan setiap y. Jika hubungannya melibatkan operasi kuadrat, maka disebut fungsi kuadrat.

Nilai fungsi y = f(x) jika x= x₁ maka y bernilai y= y₁ = f(x₁). Jadi x₁ dan y₁ merupakan pasangan  titik koordinat yang menyusun grafik fungsi y = f(x).

Fungsi Kuadrat

Bentuk Umum dari fungsi kuadrat adalah

f(x) = ax² + bx + c atau
y = ax² + bx + c

Selain penulisan fungsi kuadrat seperti di atas, ada penulisan lain dalam bentuk

• Bentuk PemetaanF : R –> R
  x –> ax2 + bx + c,  a, b, c ∈ R ,a ≠ 0
• b. Bentuk Himpunanf {(x,y)I y = ax² + bx + c; a, b, c ∈ real a ≠ 0

Grafik Fungsi Kuadrat

Di SMA sering sobat jumpai soal tentang grafik fungsi kuadrat. Biasanya pertanyaan berkutat tentang nilai ekstrem, titik puncak, bagaiman gambar grafiknya, sumbu simetri, dan lain-lain. Yang namanya grafik fungsi kuadrat adalah grafik dengan bentuk parabola (seperti gunung atau lembah). Untuk tahu bagaimana bentuk grafik dari suatu fungsi kuadrat, sobat harus memperhatikan beberapa sifat penting dari fungsi kuadrat di bawah ini.

1. Hubungan dengan sumbu y (jika x=0)

Jika dari persamaan y = ax² + bx + c kita masukkan x = 0 maka akan ketemu y = c. Jadi titik potong parabola dengan sumbu y adalah titik dengan koordinat (0,c).

2. Hubungan dengan sumbu x (y=0)

Dari bentuk ax² + bx + c jika y = 0 maka akan menghasilkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dari persamaan ini di dapat nilai D (diskriminan) D = b2-4ac.

1. Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
2. Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)
3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah sumbu x)

• dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax² + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu positif (melayang di atas sumbu x)
• dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax² + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)

3. Harga Ekstrem dan Titik Puncak

rumus menentukan harga ekstrem

(xp,yp) = (-b/2a, D/4a)

untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.

Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c adalah titik yang diperoleh dengan mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi kuadrat adalah titik P (-b/2a, D/4a). Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik minimum jika a < 0.

4. Sumbu Simetri

Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.

Persamaan untuk sumbu simetris adalah x = -b/2a

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani

yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός

(mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.

Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif.Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yangkhusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkalibenar atau tidak perlu benar.

Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat.Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras,yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”. Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.

Sejarah matematika dilihat :

Secara Geografis

1. Mesopotamia

– Menentukan system bilangan pertama kali

– Menemukan system berat dan ukur

– Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi

berbentuk baji

2. Babilonia

– Menggunakan sitem desimal dan π=3,125

– Penemu kalkulator pertama kali

– Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi

– Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat

– Geometrinya bersifat aljabaris

– Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang

berkembang

– Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno

– Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi

– Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM

-Mengenal tripel Pythagoras

– Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika

– Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno

– Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)

– Pencetus awal konsep nol adalah Al Khwarizmi

– Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan

kerucut

– Hipassus penemu bilangan irrasional

– Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya

merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah

persamaan)

– Archimedes membuat geometri bidang datar

– Mengenal bilangan prima

5. India

– Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad

– Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran

– Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal

– Brahmagyupta menemukan bilangan negatif

– Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”

– Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi

dan segitiga pascal

6. China

– Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM

– Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner,

aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus

– Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu

persamaan kuadrat, kubikdan qualitik

– Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan

Kuadrat

Berdasarkan Tokoh

1. Thales (624-550 SM)

Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau

proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid.

Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales

sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

2. Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma,

postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan

geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras

namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras

menemukan 2 sebagai bilangan irrasional.

3. Socrates (427-347 SM)

Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran

serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena

pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang

menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)

Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan

geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras,

persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan

lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.

5. Archimedes (287-212 SM)

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan

perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika

terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes

membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari

parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)

Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan

bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam

geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

7. Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan

konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim

di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan

pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika

Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan

persamaan-persamaan tingkat pertama.

Hubungan Filsafat Dengan Matematika

Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika. Baik matematikawan maupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau tidak lebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir Bertrand Russell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud untuk menggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telah mendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudian membangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat dari sistem matematika.

Dengan teori ketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematika jika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsisten maka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersama dipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilai kebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafat bahasa. Di dalam matematika, melalui logika formal, nilai kebenaran juga dipelajari secara intensif. Kripke, S. dan Feferman (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) telah merevisi teori tentang nilai kebenaran; dan pada karyanya ini maka matematika dan filsafat menghadapi masalah bersama. Di lain pihak, pada salah satu kajian filsafat, yaitu epistemologi, dikembangkan pula epistemologi formal yang menggunakan pendekatan formal sebagai kegiatan riset filsafat yang menggunakan inferensi sebagai sebagai metode utama. Inferensi demikian tidak lain tidak bukan merupakan logika formal yang dapat dikaitkan dengan teori permainan, pengambilan keputusan, dasar komputer dan teori kemungkinan.

Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam metode matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b” bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran dari ingkarannya. Seorang intuisionis juga tidak dapat menerima bilangan infinit atau tak hingga sebagai bilangan yang bersifat faktual. Menurut seorang intuisionis, bilangan infinit bersifat potensial. Oleh karena itu kaum intuisionis berusaha mengembangkan matematika hanya dengan bilangan yang bersifat finit atau terhingga.

Banyak filsuf telah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap telah dapat menghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah menjadi sumber inspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan epistemologi dan metafisik. Dari pemikiran para filsuf yang bersumber pada matematika diantaranya muncul pemikiran atau pertanyaan: Apakah bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka ada apakah di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran kita bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya? Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang “ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti universalitas, sifat-sifat benda, dan nilai-nilai; menurut beberapa filsuf jika obyek-obyek itu ada maka apakah dia terkait dengan ruang dan waktu? Apakah dia bersifat aktual atau potensi? Apakah dia bersifat abstrak? Atau konkrit? Jika kita menerima bahwa obyek matematika bersifat abstrak maka metode atau epistemologi yang bagaimana yang mampu menjelaskan obyek tersebut? Mungkin kita dapat menggunakan bukti untuk menjelaskan obyek-obyek tersebut, tetapi bukti selalu bertumpu kepada aksioma. Pada akhirnya kita akan menjumpai adanya “infinit regress” karena secara filosofis kita masih harus mempertanyakan kebenaran dan keabsahan sebuah aksioma.

Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical Methods in Philosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat. Dia menyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalan bersama. Hannes Leitgeb telah menyelidiki aspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek, logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran ungkapan-ungkapannya. Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical Logic and the Philosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan metode matematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk hidup bersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat eternal.

1.      Al-Hajjaj bin Yusuf bin Matar (786-833 M)

Al-Hajjaj bin Yusuf bin Matar adalah seorang matematikawan Arab yang pertama kali menerjemahkan Elemen Euclid dari bahasa Yunani ke dalam bahasa Arab. Dia membuat terjemahan yang lebih ringkas untuk khalifah al-Maʾmun (813-833). Sekitar 829, ia menerjemahkan Ptolemeus Almagest, yang pada waktu itu juga telah diterjemahkan oleh Hunayn ibn Ishaq dan Sahl al-Tabari. Kita tahu apa-apa tentang kehidupan pribadi Hajjaj’s, keluarganya, teman-temannya, atau pelatihannya (gurunya); kita tahu bahwa dia adalah salah satu penerjemah yang paling berpengaruh pada akhir abad ke-8 awal abad ke-9 di Baghdad, ibukota dari Kekaisaran Abbasiyah.Hajjaj menterjemahkan Ptolemy Megale sintaks yang dikenal sebagai Almagest dan Euclid’s Elements.

Pada awal abad ke-9, ia menerjemahkan Elements, naskah yang berbahasa Yunani, ke dalam bahasa Arab untuk Yahya bin Khalid (wafat: 805), Wazir Khalifah Harun Al-Rasyid. Namun pada tahun 820, Hajjaj merevisi terjemahannya dan membuatnya untuk Khalifah Abbasiyah yang berkuasa di Ma’mun. terjemahan versi baruya digambarkan lebih canggih dari terjemahan aslinya. Kapan dan untuk siapa ia menerjemahkan Almagest tidak diketahui. Dua naskah terjemahan Hajjaj tentang pekerjaan utama Ptolemeus masih ada sampai hari ini.

Terjemahan Hajjaj’s memiliki pengaruh yang besar pada masyarakat Arab, Persia, Ibrani dan Pelajar yang mempelajari buku Ptolemy dan Euclid. Hal ini dapat dideteksi dalam manu skrip yang mewakili tradisi besar kedua dalam transmisi Arab dalam Almagest dan Element dan turunannya kemudian dalam bahasa Latin dan Ibrani.

Tradisi kedua dimulai oleh terjemahan Hunayn ibn Ishaq tentang Almagest dan Elemen ke dalam bahasa Arab dan dilanjutkan dengan edisi Thabit ibn qurra. Beberapa dari sepuluh manuskrip Almagest Arab hari ini masih ada. Manuskrip itu dipelajari di Andalusia (Spanyol), di Afrikautara, Timur Tengah, Asia Tengah, dan India.

Ulama penting seperti Abu Aliʿ Sina bin Aflah bin Jabir dan Nasir al Din al Tusi mengetahui dan bekerja dengan manuskrip dari kedua tradisi dan memberikan komentar, yang kritis kepada keduanya. Pada abad ke-12, Gerard dari Cremona menerjemahkan Almagest di Toledodari yang berbahasa Arab ke dalam bahasa Latin menggunakan naskah yang mewakili dua tradisi Arab. Buku I-IX dari terjemahan ini didasarkan pada karya Hajjaj kecuali untuk katalog bintang di buku VII.5-VIII.1, yang merupakan teks pencampuran dua tradisi Arab. Sisa tiga buku terjemahan Gerard berasal dari karya Hunayn Ibn Ishaq dan ibn Thabit qurra. Pada awal abad 12, Adelard of Bath versi al-Hajjaj tentang elemen Euclid diterjemahkan ke dalam bahasa Latin.

Hasil perkalian dari (2x– 5)(x +1) adalah …

Jawab : (2x– 5)(x +1) = 2x² + 2x -5x -5

= 2x² -3x -5

Tahukah anda sekalian kalau contoh soal seperti diatas adalah hasil pemikiran matematikawan muslim? Ia lah alkwarizmi. Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: محمد بن موسى الخوارزمي) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Angka nol itu dibawa ke Eropa oleh Leonardo Fibonanci dalam karyanya, Liber Abaci. Kehadiran angka nol itu sempat ditolak kalangan gereja Kristen. Angka nol telah membawa implikasi yang amat besar dalam seluruh aspek kehidupan dan peradaban manusia. Ia dikenal sebagai bapak aljabar karena karya besarnya.

Sulit mengetahui biografy alkwarimy seutuhnya, nama panggilannya Abūʿ Abd Allāh atau Abū Jaʿfar. Sejarawan al-Tabari memberi namanya sebagai Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi al-Majousi al-Katarbali. Julukan al-Qutrubbulli menunjukkan ia mungkin malah datang dari Qutrubbull, sebuah kota kecil dekat Baghdad. Tentang agama al-Khawarizmi itu, Toomer menulis:“Julukan lain yang diberikan kepadanya oleh al-Tabari, “al-Majousi” tampaknya menunjukkan bahwa ia adalah seorang penganut agama Zoroaster tua. Ini masih akan mungkin terjadi pada waktu itu untuk seorang pria asal Iran, namun kata pengantar al-Khawarizmi’s dalam bukunya Algebra menunjukkan bahwa ia adalah seorang Muslim. Julukanyang diberi al-Tabari’s padanya bisa berarti itu asal dari nenek moyangnya, dan mungkin itu gelarnya di masa muda. Dalam al Kitab al-Fihrist karya Ibn al-Nadim kita menemukan biografi singkat pada al-Khawarizmi, bersama-sama dengan daftar buku-buku yang ditulisnya.

Pekerjaan utama al kwarizmi Kitab al-muḫtaṣar fi Hisab al-ğabr wa-l-Muqabala , yang dapat diterjemahkan sebagai Kitab Ringkas tentang Perhitungan oleh Penyelesaian dan Balancing. Risalah yang disediakan untuk solusi sistematis linier dan persamaan kuadrat . Meskipun makna yang tepat dari kata al-jabr masih belum diketahui, sebagian besar sejarawan setuju bahwa arti kata itu sesuatu seperti “restorasi”, “selesai”, “reuniter patah tulang” atau “bonesetter.” Istilah ini digunakan oleh al-Khwarizmi untuk menggambarkan operasi yang dia diperkenalkan, pengurangan dan balancing , mengacu pada transposisi istilah dikurangi ke sisi lain dari sebuah persamaan, yaitu pembatalan istilah seperti pada sisi berlawanan dari persamaan. Kini, naskah asli dalam bahasa Arab buku tersebut sudah hilang, hanya tersedia terjemahan latinnya saja. Bukunya yang lain juga sudah raib tak ketahuan rimbanya. Aljabar adalah penggabungan teori bilangan-bilangan rasional, irasional, dan geometri.

Sistemyang ditemukannya disebut sebagai sistem bilangan desimal. dan penerjemah karya-karya Yunani kuno.

• kuadrat sama dengan akar (ax² = bx)
• kuadrat sama dengan bilangan konstanta (ax² = c)
• akar sama dengan konstanta (bx = c)
• kuadrat dan akar sama dengan konstanta (ax² + bx = c)
• kuadrat dan konstanta sama dengan akar (ax² + c = bx)
• konstanta dan akar sama dengan kuadrat (bx + c = ax²)

Pekerjaan utama kedua Al-Khawarizmi adalah tentang masalah aritmatika, yang masih ada dalam terjemahan Latin tetapi hilang dalam bahasa Arab yang asli. Terjemahan kemungkinan besar dilakukan di abad ke-12 oleh Adelard of Bath, yang juga menerjemahkan tabel astronomi pada 1126. Naskah-naskah Latin tanpa judul, tetapi sering disebut algorizmi atau Algoritmi denumero Indorum pada tahun 1857. JudulArab asli mungkin Kitāb al-Jamʿwa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind “Buku Penambahan dan Pengurangan Menurut Perhitungan Hindu”.

Pekerjaan ketiga terbesar Al-Khawarizmi adalah Kitab surat al-Ard “Kenampakan Permukaan Bumi” atau “Gambar Bumi” diterjemahkan sebagai Geografi yang selesai pada tahun 833. Ini adalah versi revisi dan penyelesaian dari Geografi Ptolemeus, terdiri dari daftar 2402 koordinat darikota-kota dan fitur geografis lainnya setelah pengenalan umum. Hanya adasatu salinan yang selamat dari Kitābṣūrat al-Arḍ, yang disimpan di Perpustakaan Universitas Strasbourg. Sebuah terjemahan Latin disimpan di Biblioteca Nacional de España di Madrid. Buku ini dibuka dengan daftar lintang dan bujur, dalam rangka “zona cuaca”,artinya di blok garis lintang dan di setiap zona cuaca, atas perintah bujur. Seperti yang Paulus Gallez tunjukkan, sistem yang sangat baik memungkinkan kita untuk menyimpulkan garis lintang dan bujur di mana banyak dokumen memiliki kondisi buruk sehingga membuatnya praktis tak terbaca. Baik salinan Arab maupun terjemahan Latin termasuk peta dunia itu sendiri, namun Hubert Daunicht mampu merekonstruksi peta hilang dari daftar koordinat. Daunicht membaca lintang dan bujur dari titik-titik pantai di naskah, atau menyimpulkannya dari konteks di mana keduanya tidak terbaca. Ia pindahkan poin poin itu ke kertas grafik dan menghubungkan mereka dengan garis lurus, memperoleh perkiraan garis pantai seperti pada peta asli. Dia kemudian melakukan hal yang sama untuk sungai dan kota-kota.

Gelaran Al-Khawarizmi yang dikenali di Barat ialah al-Khawarizmi, al-Cowarizmi, al-karismi, al-Goritmi atau al-Gorism.  Nama al-gorism telah dikenali pada abad pertengahan.  Negara Perancis pula al-Gorism  muncul sebagai Augryam atau Angrism.  Di Inggris pula beliau dikenali sebagai Aurym atau Augrim. Sumbangan hasil karya beliau sendiri, antaranya ialah :

1. Al-Jabr wa’l Muqabalah : beliau telah mencipta pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
2. Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Beliau telah mengajukan contoh-contoh persoalan matematik dan telah mengemukakan 800 buah soalan yang sebahagian daripadanya merupakan persoalan yamng dikemukakan oleh Neo. Babylian dalam bentuk dugaan yang telah dibuktikan kebenarannya oleh al-Khawarizmi.
3. Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting dalam sistem nombor pada zaman sekarang.

Ini adalah contoh-contoh sebahagian beliau yang telah dihasilkan dalam penulisan karya Al-Khawarizmi dan telah menjadi popular serta dipelajari oleh semua masyarakat yang hidup di dunia ini.  Hasil karya tersebut terkenal pada zaman tamadun Islam dan dikenali di Barat.Antara hasil karya yang telah beliau hasilkan ialah :

1. Sistem Nombor : ia telah diterjemahkan ke dalam bahasa Latin iaitu De Numero Indorum.
2. ‘Mufatih al-Ulum’ : yang bermaksud beliau adalah pencinta ilmu dalam pelbagai bidang.
3. Al-Jami wa al-Tafsir bi Hisab al-Hind : Karya ini telah diterjemahkan ke dalam Bahasa Latin oleh Prince Boniopagri.
4. Al-Mukhtasar Fi Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Pada tahun 820M dan ia mengenai algebra.
5. Al-Amal bi’ Usturlab’
6. Al-Tarikh
7. Al-Maqala Fi Hisab al-Jabr wa al-Muqabilah.

konstribusi Al-qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak ternilai. Ia sang matematikus Muslim abad ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi manusia tidak mengenai symbol-simbol ilmu hitung. Sejarah mencatat alqasadi merupakan salah seorang matematikus muslim yang berjasa mengenalkan symbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh ibnu al-banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qasadi, al-Qasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter dari alphabet arab. Ia menggunakan wa yang berarti dan untuk penambahan(+), untuk pengurangan(-), al Qasadi menggunakan illa berate”kurang” sedangkan perkalian (X) ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Symbol ala yang berarti bagi digunakan untuk pembagian (/).

Selain itu, al-Qalasadi juga menggunakan simbol j untuk melambangkan ”akar”.  Simbol sh digunakan untuk melambangkan sebuah variable (x).  Lalu, ia menggunakan simbol m) untuk melambangkan ”kuadrat” (X2). Huruf k digunakan sebagai simbol ”pangkat tiga” (x3). Sedangkan,  melambangkan persamaan (=).

Tanpa jasa al-Qalasadi, boleh jadi masyarakat modern tak akan mengenal simbol Aljabar yang sangat penting itu. Lalu, sebenarnya siapakah al-Qalasadi itu? Matematikus Muslim terkemuka itu bernama lengkap  Abu al-Hasan ibnu Ali al-Qala?adi. Ia terlahir pada 1412  di Bastah (sekarang, Baza), Andalusia yang kini dikenal sebagai Spanyol.

Menurut JJ O’Connor dan EF Robertson,  Andalusia berasal dari bahasa Arab, al-Andalus. Nama itu digunakan  umat Islam untuk menyebut seluruh wilayah Spanyol dan Portugal yang pernah dikuasai umat Muslim dari abad ke-8 M hingga abad ke-11. Wilayah tempat berdirinya Kekhalifahan Umayyah Spanyol itu, kemudian direbut kembali orang Kristen.

Andalusia, kata O’Connor,  hanya digunakan untuk menyebut kawasan yang tersisa di bawah kekuasaan Islam. Penaklukan Kristen terhadap wilayah Andalusia membutuhkan empat abad. Andalusia merupakan wilayah yang makmur pada abad ke-13 M. Di wilayah itu, terdapat Alhambra, istana yang indah dan benteng dari penguasa Granada.

Al-Qalasadi adalah seorang intelektual Muslim yang dibesarkan di Bastah. Masa kanak-kanaknya dilalui dengan sangat sulit. Pada masa itu, Kerajaan Kristen sering menyerang kota Bastah.  Meski hidup dalam situasi keamanan yang tak stabil, ia tak pernah melalaikan tugasnya untuk belajar dan menimba ilmu.

Ilmu hukum dan Alquran merupakan pelajaran pertama yang diperolehnya di tanah kelahiran. Setelah menginjak remaja, al-Qalasadi hijrah ke selatan, menjauhi zona perang menuju Granada. Di kota itu, ia melanjutkan studinya mempelajari ilmu filsafat, ilmu pengetahuan dan hukum Islam. Al-Qalasadi sering melakukan perjalanan ke negara-negara Islam. Secara khusus,  dia menghabiskan banyak waktunya di Afrika Utara. Dia hidup di negara-negara Islam yang memberikan dukungan kuat terhadap Andalusia baik secara politik maupun dengan bantuan militer dalam melakukan perlawanan terhadap serangan Kristen.

Dia menghabiskan waktu di Tlemcen (sekarang di barat laut Aljazair, dekat perbatasan Maroko). Di tempat itu,  ia belajar di bawah  bimbingan guru-gurunya untuk mempelajari aritmatika dan aplikasinya. Setelah itu,  dia hijrah ke Mesir untuk berguru  pada beberapa ulama terkemuka.

Al-Qalasadi  juga sempat menunaikan ibadah haji ke  Makkah dan kembali ke lagi Granada. Ketika kembali  ke Granada, keadaan wilayah tersebut semakin memburuk. Bagian yang tersisa dari wilayah Muslim terus diserang orang-orang Kristen Aragon dan Castile. Suasana itu tak menyurutkan tekadnya untuk tetap mengajarkan ilmu yang dikuasainya.

Dalam situasi genting pun, al-Qalasadi tetap mengajar dan menulis sderet karya yang sangat penting. Serangan tentara Kristen yang terus-menerus membuat kehidupannya di Granada, semakin sulit.  Wilayah kekuasaan Muslim di Granada habis pada 1492, ketika  Granada jatuh ke tangan orang Kristen.

Selama hidupnya, al-Qalasadi menulis beberapa buku mengenai aritmatika dan sebuah buku mengenai aljabar. Beberapa di antaranya berisi komentar-komentar terhadap karya Ibnu al-Banna yang bertajuk Talkhis Amal al-Hisab (Ringkasan dari Operasi Aritmatika). Ibnu al-merupakan matematikus Muslim yang hidup satu abad lebih awal dari al-Qalasadi.

Risalah utama al-Qalasadi adalah al-Tabsira fi’lm al-Hisab (Klarifikasi Ilmu Berhitung). Sayangnya, buku itu sulit dipelajari orang kebanyakan. Untuk mempelajarinya dibutukan ketajaman pikiran. Buku itu sangat dipengaruhi pemikiran Ibnu al-Banna. Meskipun al-Qalasadi sudah berusaha menyederhanakan tingkat kerumitan karya al-Banna.

Buku aritmatika  karya al-Qalasadi yang lebih sederhana, terbukti begitu populer dalam pengajaran aritmatika di Afrika Utara. Karya-karyanya itu digunakan selama lebih dari 100 tahun. Jejak intelektual  al-Qalasadi rupanya cukup dikenal  dan diketahui para sejarawan

Salah seorang penulis yang bernama J Samso Moya, mengatakan, para penulis menganalisis karya para ahli matematika dari Maghrib (Afrika Utara) seolah-olah mereka sepenuhnya tidak terpengaruh dari pendahulu mereka di Timur Islam.

Hal itu, kata Moya, mendorong mereka untuk menekankan pentingnya mengunakan simbol aljabar yang digunakan  Al-Qalasadi (1412-1486), tanpa memperhatikan usaha-usaha serupa sebelumnya baik di Timur maufut di Barat Islam. Para penulis di abad ke-19 percaya bahwa simbol-simbol aljabar pertama kali dikembangkan dalam Islam oleh ahli matematika Spanyol-Arab Ibn al-Banna dan Al-Qalasadi.

Kalangkaan simbol-simbol matematika di Italia, mungkin disebabkan ketidaktahuanilmuwan Italia seperti, Leonardo Fibonacci akan adanya karya-karya hebat para ahli matematika dari  Andalusia. Boleh jadi simbol-simbol Aljabar tersebut bukan penemuan al-Qalasadi, tetapi dia  memiliki kontribusi yang besar dalam mengenalkan simbol-simbol Aljabar tersebut kepada dunia. Simbol-simbol Aljabar tersebut telah digunakan di kekaisaran Muslim Timur, bahkan mungkin lebih awal dari itu.

Tradisi belajar di Andalusia sudah tampak sejak awal abad ke-9 M. Di wilayah kekuasaan kekhalifahan Umayyah itu, anak-anak para pangeran, pejabat atau orang yang terhormat harus belajar. Mereka belajar dari ajaran ilmiah menggunakan salinan terjemahan karya ilmiah Yunani dan India.

Lalu muncullah buku-buku pengajaran bahasa Arab pertama di Andalusia yang berasal dari  Baghdad, ibu kota Kekhalifahan Abbasiyah. Belajar bukan hanya hak kelompok elite semata.  Anak-anak para pedagang dan keluarga kerajaan mendapatkan buku-buku dari orang tuanya yang kaya.

Melihat keinginan yang besar untuk belajar, Khalifah akhirnya mendukung kegiatan-kegiatan ilmiah dengan membiayai pembentukan sebuah perpustakaan penting untuk menyediakan beraneka macam buku. Inisiatif Khalifah untuk memajukan pendidikan dengan membangun banyak perpustakaan akhirnya meningkatkan perkembangan kegiatan ilmiah di kota-kota utama Muslim Spanyol.

Beberapa kota yang pendidikan dan ekonominya maju pada masa itu antara lain: Cordoba, Toledo, Sevilla, Zaragoza dan Valencia. Selama sepertiga akhir abad ke-9 dan abad ke-10 M, kegiatan mengajar dan penelitian berkembang pesat terutama dalam bidang matematika.

Khalifah Umayyah dpada abad ke-10 dan Khalifah Abd ar-Rahman III ( 912-961) serta putranya al-Hakam II (961-976) sangat mendukung perkembangan dunia pendidikan dan ilmu pengetahuan. Maka bisa dikatakan bahwa Andalusia —  tempat kelahiran al-Qalasadi — merupakan wilayah yang memiliki tradisi belajar dan penelitian.

Pada masa itu, berbagai macam karya astronomi maupun matematika banyak dilahirkan oleh para ilmuwan besar, termasuk al-Qalasadi. Selain itu, banyak juga ilmuwan yang lahir di Andalusia, termasuk Ibnu as-Samh dan al-Zahrawi, yang mendominasi kegiatan ilmiah paruh pertama abad ke-11 M,  serta menerbitkan banyak buku di Spanyol dan di Maroko.

Al-Jawhari adalah seorang matematikawan yang bekerja di Rumah di Baghdad. Karyanya yang paling penting adalah Komentar tentang Elemen Euclid yang berisi hampir 50 proposisi tambahan dan bukti percobaan dalil paralel. Matematikawan Arab dan astronomi yang menulis tentang (325 – 250 SM) Euclid’s Elements dan menjadi yang pertama untuk mencoba bukti dalil paralel. Lahir di Baghdad, al-Jawhari adalah anggota sebuah lembaga ulama yang didirikan oleh khalifah al-Ma’mun (sekitar 813-833). Dalam bukunya Commentary on Euclid’s Elements, al-Jawhari menyajikan sekitar 50 dalil selain yang ditawarkan oleh Euclid, ia berusaha meskipun tidak berhasil untuk membuktikan postulat paralel. Sebagai seorang astronom, al-Jawhari melakukan observasi baik dari Baghdad dan Damaskus.

Kita tahu sedikit kehidupan al-Jawhari’s kecuali bahwa ia dikaitkan dengan Rumah yang luar biasa, yang didirikan di Baghdad oleh Khalifah al-Ma’mun. dirumah kebijaksanaan itu pulalah matematikawan lain ditempatkan seperti al-Kindi, al- Khawarizmi, Hunayn ibn Ishaq, Thabit bin qurra dan Banu Musa.

Al-Jawhari, dikenal dalam bidang geometri, melakukan observasi di Baghdad sekitar tahun 829-830 ketika bekerja untuk al-Ma’mun. Dia meninggalkan Baghdad sebelum kematian al-Ma’mun di 833, dalam penelitian/pengamatannya di Damaskus di 832-833. Pekerjaan utama oleh al-Jawhari tentang Komentar pada Elemen Euclid yang tertera dalam Index, sebuah karya disusun oleh penjual buku Ibnu an-Nadim ditahun 988. Komentar pada Euclid’s Elements merupakan pekerjaan yang hampir sama dengan yang dijelaskan oleh Nasir al-din al-Tusi walaupun al-Tusi memberikan judul yang sedikit berbeda untuk pekerjaan al-Jawhari’s.

Al-Tusi mengutip enam dari hampir lima puluh proposisi yang bersama-sama membentuk apa yang al-Jawhari yakini sebagai bukti postulat paralel. Ini berarti bahwa, sejauh kita menyadari, al-Jawhari adalah matematikawan Arab pertama yang mencoba membuktikan hal ini. Kenyataan bahwa bukti ini gagal kemudian dicatat oleh al-Tusi. Al-Jawhari’s adalah “bukti” contoh dari upaya awal matematikawan Muslim untuk memahami konsep-konsep sulit dalam Elemen Euclid. Berggren, meninjau, menyatakan terkejut, bukan pada argumen menyesatkan al-Jawhari, tapi lebih kepada fakta bahwa mereka masih sedang berulang 400 tahun kemudian

Abd al-Hamid ibn Turki (830), atau yang dikenal juga sebagaiʿ Abd al-Hamid bin Wase bin Turk Jili adalah Matematikawan muslim Turki pada abad kesembilan. Tidak banyak yang diketahui tentang biografinya. Dua catatan tentangnya, salah satu oleh Ibnu Nadim dan yang lain oleh al-Qifti tidak identik. Namun al-Qifi menyebutkan namanya sebagai Abd al-Hamid ibn Wase ibn Turk Jili. Jili berarti dari Gilan.

Dia menulis sebuah karya pada aljabar yang hanya terdiri dari bab “Kebutuhan Logika dalam Persamaan Campuran”, pada solusi persamaan kuadrat, dan masih ada sampai saat ini. Dia menulis sebuah naskah berjudul Kebutuhan Logika dalam Persamaan Campuran, yang sangat mirip dengan karya al-Khwarzimi’s “Al-Jabr” dan diumumkan pada sekitar waktu yang sama, atau bahkan mungkin lebih awal dari, Al-Jabr. Naskah ini memberikan demonstrasi geometrik persis sama seperti yang ditemukan di Al-Jabr, dan dalam satu kasus contoh yang sama seperti yang ditemukan di Al-Jabr, dan bahkan melampaui Al-Jabr, dengan memberikan bukti geometris bahwa jika determinan negatif maka persamaan kuadrat tidak ada solusi. Kesamaan antara dua karya telah menyebabkan beberapa sejarawan untuk menyimpulkan aljabar yang mungkin telah berkembang dengan baik pada saat al-Khawarizmi dan ‘Abd al-Hamid.

Al-Kindi atau Alkindus adalah seorang filsuf dan ilmuwan yang bekerja sebagai Rumah Kebijaksanaan di Baghdad di mana ia menulis banyak komentar tentang karya-karya Yunani. Kontribusi-nya untuk matematika mencakup banyak karya aritmatika dan geometri.

Abu Yusuf Yaʿqub ibn Isḥaq al-Ṣabbaḥal-Kindi yang lahir pada tahun 801 dan wafat pada tahun 873 M ini juga dikenal sampai ke Barat oleh versi nama Latinnya “Alkindus”. Alkindus dikenal di barat sebagai seorang polymath Arab Irak, filsuf Islam, ilmuwan, peramal, ahli astronomi, kosmologi, kimia, ahli logika, matematikawan, musisi, dokter, ahli fisika, psikolog, dan meteorologi. Al-Kindi adalah yang pertama dari para filsuf Peripatetik Muslim, dan dikenal atas usahanya untuk memperkenalkan filsafatYunani dan Helenistik ke dunia Arab. Al-Kindi adalah seorang pelopor dalam kimia, kedokteran, teori musik, fisika, psikologi, filsafat ilmu, dan juga dikenal sebagai salah satu bapak kriptografi.

Al-Kindi adalah keturunan dari suku Kinda yang merupakan bangsa Arab terkenal suku asli dari Yaman. Ia dilahirkan dan dididik di Kufah, sebelum mengejar studi lanjut di Baghdad. Al-Kindi menjadi tokoh terkemuka di Rumah dan sejumlah khalifah Abbasiyah menunjuk dia untuk mengawasi penerjemahan teks ilmiah dan filsafat Yunani ke dalam bahasa Arab. Ini kontak dengan “filosofi orang dahulu” (sebagai filsafat Yunani danHelenistik yang sering disebut oleh para sarjana Muslim) memiliki efekmendalam pada pengembangan intelektual, dan membawanya untuk menulis risalah asli pada subyek mulai dari etika Islam dan metafisika untuk matematika dan farmakologi. Dalam matematika, al-Kindi memainkan peran penting dalam memperkenalkan angka Arab ke dunia Islam dan Kristen. Dia adalah seorang pelopor dalam pembacaan sandi dan kriptologi, dan metode baru dibuat dari memecahkan sandi, termasuk metode analisis frekuensi. Menggunakan keahlian matematika dan medis, ia mengembangkan skala untuk memungkinkan dokter untuk mengkuantifikasi potensi pengobatan mereka. Ia juga bereksperimen dengan terapi musik. Tema sentral yang mendasari tulisan-tulisan filosofis al-Kindi adalah kesesuaian antara filsafat dan ilmu-ilmu Islam ortodoks, terutama teologi. Banyak karya-karyanya mensinergikan subyek teologi yang bersangkutan, termasuk sifat Allah, jiwa, dan pengetahuan kenabian. Namun, meskipun peran penting yang dimainkan dalam membuat filsafat diakses oleh intelektual Muslim, output filosofisnya sendiri sebagian besar dibayangi oleh al-Farabi dan sangat sedikit dari teks itu tersedia untuk sarjana modern untuk dipelajari.

Al-Kindi menulis pada sejumlah subjek matematika penting lainnya, termasuk aritmatika, geometri, angka India, harmoni dari angka, garis dan perkalian dengan angka, jumlah relatif, proporsi pengukuran dan waktu, dan prosedur numerik dan kenselasi. Ia juga menulis empat jilid, Penggunaan angka India Ketab fi Isti’mal al-‘Adad al-Hindi yang memberikan kontribusi besar terhadap difusi sistem penomoran India di Timur Tengah dan Barat. Dalam geometri, antara karya-karya lain, ia menulis tentang teori paralel. Juga berhubungan dengan geometri dia mengerjakan dua pekerjaan pada optik. Salah satu cara dimana ia memanfaatkan matematika sebagai filsuf adalah upaya untuk menyangkal keabadian dunia dengan menunjukkan bahwa sebenarnya tak terhingga adalah absurditas matematis dan absurditas yang logis.

Banu Musa terdiri dari tiga bersaudara yang bekerja di Rumah Kebijaksanaan di Baghdad. Risalah matematika paling terkenal mereka adalah Kitab dari Pengukuran pesawat dan Angka Bulat, yang dianggap masalah yang sama seperti Archimedes lakukan pada Pengukuran Lingkar, pada bola dan silinder. Mereka memberikan kontribusi individual juga. Yang tertua, Jaʿjauh Muhammad khusus dalam geometri dan astronomi. Dia menulis sebuah revisi kritis pada Apollonius ‘Conics disebut Aktiva dari kitab conics. Ahmad khusus dalam mekanika dan menulis sebuah karya pada perangkat pneumatik disebut mekanika. Si bungsu al-Hasan khusus dalam geometri dan menulis karya pada.

Ada sedikit informasi tentang kehidupan al-Mahani. Kita tahu sedikit tentang pekerjaan al-Mahani di astronomi dari buku astronomi karya Ibn Yunus “al-Zij al-Hakimi al-kabir”. Dalam karya ini Ibnu Yunus mengkutip dari tulisan al-Mahani, yang telah hilang, yang menggambarkan pengamatan al-Mahani yang dibuat antara tahun 853 dan 866. Setidaknya kita telah akurat memahami kehidupan al-Mahani dari sumber ini. Ibn Yunus menulis bahwa al-Mahani mengamati gerhana bulan dan ia menghitung awal mereka dengan astrolabe dan bahwa awal tiga gerhana berturut-turut sekitar setengah jam kemudian bisa dihitung.

The Fihrist (Index) adalah sebuah karya disusun oleh penjual buku Ibnu an-Nadim di tahun 988. Ini memberikan laporan lengkap dari sastra bahasa Arab yang tersedia dalam abad ke-10 dan secara khusus menyebutkan al-Mahani, bukan karena karyanya dalam astronomi, melainkan untuk karyanya dalam geometri dan aritmatika. Namun pekerjaan yang al-Mahani lakukan dimatematika mungkin telah termotivasi oleh berbagai masalah yang bersifat astronomi. Kita tahu bahwa beberapa karya al-Mahani dalam aljabar didorong dengan mencoba memecahkan masalah karena Archimedes. Masalah Archimedes yang berusaha ia pecahkan dengan cara baru adalah pemotongan bola oleh pesawat sehingga dua segmen yang dihasilkan memiliki volume rasio tertentu. Hal itu telah Omar Khayyam berikan gambaran historis penting dari aljabar,yang menempatkan pekerjaan al-Mahani ke dalam konteks.

Omar Khayyam menulis: Al-Mahani adalah salah satu penulis modern yang dikandung gagasan pemecahan teorema bantu yang digunakan oleh Archimedes dalam proposisi keempat buku kedua dari risalah tentang bola dan silinder aljabar. Namun, ia menyebabkan persamaan yang melibatkan kubus, kotak dan bilangan yang iagagal selesaikan setelah melewati perenungan yang panjang. Oleh karena itu, solusi ini dinyatakan tidak mungkin sampai munculnya Ja’far al-Khazin yang memecahkan persamaan dengan bantuan bagian kerucut. Omar Khayyam cukup tepat untuk menilai pekerjaan ini dengan tinggi. Akan terlalu mudah untuk mengatakan bahwa sejak al-Mahani telah mengusulkan suatu metode solusi yang dia tidak bisa laksanakan maka karyanya memiliki nilai yang kecil.

Namun seperti Omar Khayyam sangat menyadari, tidak begitu sama sekali dan kenyataan bahwa al-Mahani mengandung ide mengurangi masalah seperti menduplikasi kubus untuk masalah dalam aljabar yang merupakan langkah penting ke depan. Sejumlah karya al-Mahani yang selamat, adalah komentar-komentar tertentu yang ia tulis pada bagian Elemen Euclid. Dalam karya khusus tentang rasio-rasio dan tidak rasional yang terkandung dalam komentar dia memberikan Buku V dan X dari Elemen bertahan hidup seperti halnya usahanya untuk memperjelas bagian-bagian sulit dari Buku XIII. Ia juga menulis sebuah karya yang memberikan mereka 26 proposisi di Buku I yang dapat dibuktikan tanpamenggunakan argumen reductio ad absurdum namun pekerjaan ini telah hilang. Yang juga hilang adalah karyanya yang mencoba untuk meningkatkan deskripsi yang diberikan oleh Menelaus di Spherics nya.

Abu Ja’far Al-Khazin adalah salah satu ilmuwan yang dibawa ke istana Rayy oleh penguasa dinasti Buyid, Adud ad-Dawlah, yang memerintah pada tahun 949-983.

Sekitar tahun 959 – 960 al-Khazin diminta oleh wazir dari Rayy, untuk mengukur arah miring ekliptika atau sudut di mana matahari muncul untuk membuat garis khatulistiwa bumi. Dia dikatakan telah membuat pengukuran menggunakan cincin sekitar 4 meter. Salah satu dari karya-karya al-Khazin Zij al-Safa’ih (Tabel cakram dari astrolabe) digambarkan oleh para penerusnya sebagai karya terbaik di bidang ini dan mereka membuat banyak referensi untuk itu. Pekerjaan ini menjelaskan beberapa instrumen astronomi, khususnya menggambarkan sebuah astro label dilengkapi dengan pelat bertuliskan tabel dan komentar tentang penggunaannya. Salinan instrumen ini dibuat tetapi menghilang di Jerman padawaktu Perang Dunia II.

Al-Khazin menulis komentar tentang Ptolemy’s Almagest yang dikritik oleh al-Biruni karena terlalu verbose. Hanya satu fragmen dari komentar ini yang bertahan dan terjemahan itu. Fragmen yang telah bertahan berisi diskusi oleh al-Khazin dari argumen Ptolemeus bahwa alam semesta adalah bulat. Ptolemeus menulis dari angka yang berbeda dari keliling yang sama, satu dengan sudut lebih besar kapasitasnya, dan oleh karena itu perlu bahwa lingkaran adalah yang terbesar permukaannya yaitu semua angka dengan perimeter konstan dan bulatan padat yang terbesar. Al-Khazin memberikan 19 proposisi yang berkaitan dengan pernyataan Ptolemy. Hasil yang paling menarik menunjukkan, dengan bukti yang sangat cerdas, bahwa sebuah segitiga sama sisi memiliki luas lebih besar daripadasegitiga sama kaki atau sisi tak sama panjang dengan perimeter yang sama. Ketika ia mencoba untuk menggeneralisasi hasil ini untuk poligon, bagaimanapun, al-Khazin memberikan bukti yang salah. Hasil lain di antara 19 didasarkan pada dalil yang diberikan oleh Archimedes dalam lingkaran dan silinder.

Karya yang dijelaskan al-Khazin tampaknya telah memotivasi matematikawan lain yang bernama al-Khujandi. Al-Khujandi mengklaim telah membuktikan bahwa x³+y³=z³ adalah mustahil untuk bilangan bulat x, y, z yang tentu saja dengan n = 3 pada kasus Teorema Terakhir Fermat. Dalam surat al-Khazin menulis ”Aku menunjukkan sebelumnya bahwa apa yang Abu Muhammad al-Khujandi jelaskan semoga Allah kasihanilah dia” dalam demonstrasinya bahwa jumlah dari dua bilangan kubik tidak kubus adalah rusak dan tidak benar. Hal ini tampaknya telah memotivasi korespondensi lebih lanjut tentang teori bilangan antara al-Khazin dan matematikawan Arab lainnya. Hasil oleh al-Khazin di sini memang menarik. Hasil utamanya adalah untuk menunjukkan bagaimana, jika kita diberi bilangan, untuk menemukan sejumlah kuadrat sehingga jika angka yang diberikan ditambahkan ke atau dikurangkan dari itu hasilnya akan kuadrat. Dalam notasi modern masalah ini diberi bilangan asli, menemukan bilangan asli x, y, z sehingga x² + a = y² dan Al-Khazin membuktikan bahwa keberadaan x, y, z dengan sifat-sifat ini adalah setara dengan keberadaan bilangan asli u, v dengan a = 2 uv, dan adalah sebuah kuadratik (faktanya ). Contoh terkecil yang memuaskan kondisi-kondisi ini adalah 24 yang al-Khazin memberikan 5² + 24 = 7², 5² – 24 = 1². Dia juga memberikan a = 96 dengan 10²+ 96 = 14², 10² – 96 = 2² walaupun, agak aneh, ia tampaknya mengurangi hal ini dengan pernyataannya yang lain. Rashed menyarankan ini mungkin karena 96 = 2 × 48 = 2 × 6 × 8 dan 62 + 82 = 102 adalah bukan triple Pythagoras primitif. Rashed telah menemukan sebuah naskah yang tampaknya oleh al-Khazin, namun berisi persis apa yang telah dikaitkan dengan al-Khujandi.

Walaupun al-Khazin bisa menyadari kesalahan dalam bukti al-Khujandi dan mencoba bukti dirinya sendiri yang dia yakini benar, tidak ada penjelasan yang benar-benar memuaskan dari fakta-fakta ini. Akhirnya menyebutkan bahwa al-Khazin mengusulkan model tata surya yang berbeda dari Ptolemy. Ptolemy mengatakan bahwa matahari bergerak dalam gerak melingkar seragam terhadap pusat yang tidak bumi. Al-Khazin tidak senang dengan model ini karena ia mengklaim bahwa jika memang demikian maka jelas diameter matahari akan bervariasi sepanjang tahun dan observasi menunjukkan bahwa ini tidak terjadi. Tentu saja diameter nyata dari matahari bervariasi tetapi dengan jumlah yang terlalu kecil untuk diamati oleh al-Khazin. Untuk mendapatkan putaran masalah ini, al-Khazin mengusulkan model di mana matahari bergerak dalam lingkaran yang berpusat di bumi, tetapi gerakannya tidak seragam terhadap pusat, melainkan adalah seragam tentang titik lain (disebut excentre)

Abu Bakar bin Muhammad bin Al Husain al-Karaji atau al-Karkhi (953 di Karajatau Karkh – 1029) adalah seorang matematikawan muslim Persia abad ke-10 dan insinyur. Penulis kitab bertajuk Al-Kafi fi Al-Hisab(Pokok-pokok Aritmatika). Tiga karya utamanya adalah:

1. Al-Badi’ fi’l-hisab (perhitungan yang indah)
2. Al-Fakhri fi’l-jabr wa’l-muqabala (aljabar yang agung)
3. Al-Kafi fi’l- hisab (perhitungan yang memadai)

Karena karya asli al-Karaji dalam bahasa Arab hilang, belum diketahui secara pasti apa nama pastinya.

Al-Karkhi, menunjukkan bahwa ia lahir di Karkh, pinggiran kota Baghdad, atau al-Karaji menunjukkan keluarganya berasal dari kota Karaj. Dia memang tinggal dan bekerja untuk sebagian besar hidupnya di Baghdad, yang merupakan pusat ilmiah dan perdagangan dunia Islam. Al-Karaji menulis tentang matematika dan teknik.

Beberapa menganggap diahanya ulang ide-ide orang lain ia dipengaruhi oleh Diophantus tetapi kebanyakan menganggapnya lebih orisinil, khususnya untuk membebaskan aljabar dari geometri. Dia secara sistematis mempelajari aljabar eksponen, dan adalah yang pertama untuk menyadari bahwa urutan dapat diperpanjang tanpa batas waktu, dan reciprocals ,… Namun, karena misalnya produk persegi dan kubus akan dinyatakan, dalam kata-kata daripada angka, sebagai kubus-persegi, sifat-sifat bilangan dari menambahkan eksponen menjadi tidak jelas.

Dia menggunakan bentuk induksi dalam karyanya yang sekarang hilang danhanya diketahui dari kutipan berikutnya oleh al-Samaw’al, ia menulis pada teorema binomial dan segitiga Pascal. Karyanya pada aljabar dan polinomial, memberikan aturan untuk operasi aritmatika untuk menambahkan, mengurangi dan mengalikan polinomial, meskipun ia dibatasi untuk membagi polinomial oleh monomials.

Al-Karaji memperkenalkan ide argumen dengan induksi matematika. Sepertikata Katz: Gagasan lain yang penting yang diperkenalkan oleh al-Karaji dan dilanjutkan oleh al-Samaw’al dan lain-lain adalah suatu argumen induktif untuk menangani dengan urutan aritmatika tertentu. Dengan demikian al-Karaji menggunakan argumen untuk membuktikan hasil pada jumlah integral pangkat tiga yang sudah dikenalkan Arya bhata. Al-Karaji tidak pernah, bagaimanapun, menyatakan hasil umum untuk peubah n. Dia menyatakan teoremanya untuk bilangan bulat tertentu 10. Buktinya, bagaimanapun, jelas dirancang untuk menjadi diperpanjang ke integer lain. Argumen Al-Karaji ini termasuk pada intinya dua komponen dasar dari sebuah argumen modern oleh induksi, yaitukebenaran pernyataan tersebut untuk n= 1 (1 = 13) dan berasal dari kebenaran untuk n=k dari n= k-1. Tentu saja, komponen kedua tidak eksplisit karena, dalam arti tertentu, argumen al-Karaji, ia mulai dari n = 10 dan turun ke 1daripada melanjutkan ke atas.

Namun demikian, argumennya dalam al-Fakhri  adalah bukti paling awal yang masih ada tentang rumus jumlah untuk integralpangat tiga. Woepcke adalah sejarawan pertama yang menyadari pentingnya kerja al-Karaji dan kemudian sebagian besar sejarawan setuju dengan penafsiran nya. Ia menggambarkan sebagai penampilan pertama dari teori kalkulus aljabar. Rashed setuju dengan penafsiran Woepcke dan mungkin bahkan melangkah lebih jauh dalam menekankan pentingnya al-Karaji’s. Dia menulis tujuanyang lebih atau kurang eksplisit eksposisi Al-Karaji itu adalah untuk mencari cara mewujudkan otonomi dan kekhususan aljabar, sehingga berada dalam posisi untuk menolak, khususnya, representasi geometrik operasi aljabar.

Untuk memberikan kutipan dari deskripsi Rashed tentang kontribusi al-Karaji:karya Al-Karaji memegang tempat penting dalam sejarah matematika penemuan dan pembacaan karya aritmatika dari Diophantus, dalam konsepsi yang jelas dan metode aljabar al-Khawarizmi dan algebraists Arab lainnya, dimungkinkan sebuah keberangkatan baru dalam aljabar oleh Al-Karaji Jadi apa yang ini keberangkatan baru dalam aljabar? Mungkin paling tepat digambarkan oleh al-Samawal, salah satu penerus al-Karaji, yang menggambarkannya sebagai beroperasi pada penggunakan semua alat aritmatika yang tidak diketahui, dengan cara yang sama sebagai ahli aritmetika beroperasi pada yang diketahui.

Apa yang al-Karaji capai di Al-Fakhri pertama kali untuk menentukan monomials x, x², x³, … dan , … dan memberikan aturan untuk produk setiap dua dari ini. Jadi apa yang dicapai di sini adalah mendefinisikan produk dari istilah-istilah ini tanpa ada referensi ke geometri. Bahkan ia hampir saja memberikan rumus xⁿ. x^m = x^m+nuntuk semua bilangan bulat n dan m tapi ia gagal membuat definisi x⁰= 1 sehingga ia hanya memberikan keterangan singkat.

Setelah aturan yang diberikan untuk perkalian dan pembagian monomials al-Karaji lalu memandang “jumlah komposit” atau jumlah dari monomials. Untuk ini ia memberikan aturan untuk penambahan, pengurangan dan perkalian tetapi tidak untuk pembagian dalam kasus umum, hanya memberikan aturan untuk pembagian kuantitas komposit dengan sebuah monomial. Dia mampu memberikan aturan untuk mencari akar kuadrat dari kuantitas komposit yang tidak sepenuhnya umum karena diperlukan koefisien untuk menjadi positif, tetapi masih merupakan pencapaian yang luar biasa.

Al-Karaji juga menggunakan bentuk induksi matematika dalam argumennya, meskipun ia tentu saja tidak memberikan penjelasan ketat yang prinsip. Pada dasarnya apa yang al-Karaji lakukan ini adalah untuk menunjukkan argumen untuk n= 1, kemudian membuktikan kasus n= 2 berdasarkan hasil nya untuk n = 1, kemudian membuktikan kasus n= 3 berdasarkan hasil nya untuk n= 2,dan membawa ke sekitar n = 5 sebelum berkomentar bahwa seseorang dapat melanjutkan proses tanpa batas.

Meskipun ini bukan induksi yang tepat, ini adalah langkah besar menuju pemahaman bukti induktif. Salah satu hasil yang al-Karaji gunakan bentuk induksi berasal dari karyanyatentang teorema binomial, koefisien binomial dan segitiga Pascal. Dalam Al- Fakhri al-Karaji menghitung (a+b)³ dan di Al-Badi ia menghitung (a-b)³ dan (a+b)⁴

Pembangunan umum dari segitiga Pascal diberikan oleh al-Karaji dalam karyanya yang dijelaskan dalam tulisan-tulisan al-Samawal. Dalam terjemahan oleh Rashed dan Ahmad al-Samawal menulis: Mari kita ingat prinsip untuk mengetahui jumlah yang diperlukan dalam perkalian dari derajat satu sama lain,untuk setiap bilangan dibagi menjadi dua bagian. Al-Karaji mengatakan bahwa untuk menggantikan kita harus menempatkan ‘satu’ di atas meja dan ‘satu’ dibawah ‘satu’ yang pertama, bergerak ‘satu’ yang pertama ke kolom kedua, tambahkan ‘satu’ yang pertama untuk satu ”di bawah ini. Dengan demikian kita memperoleh ‘dua’, kita menaruh di bawah ‘satu’ ditransfer dan kami tempat ‘satu’ yang kedua di bawah ‘dua’. Kami memiliki ‘satu’ itu, ‘dua’, dan ‘satu’. Untuk melihat bagaimana kolom kedua dari 1,2,1 sesuai dengan mengkuadratkan a + b al-Samawal terus untuk menggambarkan penulisan karya Al-Karaji: Hal ini menunjukkan bahwa untuk setiap nomor terdiri dari dua angka, jika kita masing-masing beberapa dari mereka dengan sendirinya sekali- karena dua ekstrem adalah ‘satu’ dan ‘satu’ – dan jika kita kalikan masing-masing satu oleh yang lain dua kali – karena jangka menengah adalah ‘dua’ -kita memperoleh kuadrat dari nomor ini.

Ini adalah deskripsi indah dari teorema binomial menggunakan segitiga Pascal. Deskripsi berlanjut hingga koefisien binomial yang memberikan (a+b)⁵ tetapi kita hanya akan mengutip bagaimana al-Karaji konstruksi kolom ketiga dari kedua Jika kita transfer ‘satu’ di kolom kedua menjadi kolom ketiga, kemudian tambahkan ‘satu’ dari kolom kedua untuk ‘dua’ di bawah ini, kita memperoleh ‘tiga’ yang akan ditulis di bawah ‘satu’ pada kolom ketiga. Jika kita kemudian tambahkan ‘dua’ dari kolom kedua untuk”satu ‘di bawah ini kita memiliki’ tiga’yang ditulis di bawah’ tiga ‘, maka kita menulis’ satu ‘di bawah ini’ tiga ‘; kami sehingga mendapatkan kolom ketiga yang jumlahnya adalah ‘satu’, ‘tiga’, ‘tiga’,dan ‘satu’ Hasil lain yang diperoleh oleh al-Karaji termasuk menjumlahkan n pertama bilangan asli, kuadrat n bilangan asli pertama dan pangkat angka-angka ini. Dia membuktikan bahwa jumlah bilangan asli n pertama ½ n(n+ 1). Dia juga memberikan (dalam terjemahan Rashed dan Ahmad):Dalam notasi modern; ∑i² = ∑i + ∑i (i – 1).

Al-Karaji juga mempertimbangkan jumlah dari pangkat tiga dari n bilangan asli pertama menulis (dalam terjemahan Rashed dan Ahmad): Jika kita ingin menambahkan pangkat tiga dari bilangan yang mengikuti satu sama lain mereka kita kalikan jumlah mereka dengan dirinya sendirinya.Dalam notasi modern ∑ i³= (∑ i)². Al-Karaji menunjukkan bahwa (1 + 2 + 3 + … + 10)² sama dengan 1³+ 2³+ 3³ + … + 10³. Dia telah melakukan ini dengan memperlihatkan terlebih dahulu bahwa (1 + 2 + 3 + … + 10)² = (1 + 2 + 3 + … + 9)²+ 10³. Dia sekarang bisa menggunakan aturan yang sama pada (1 + 2 + 3 + … + 9)², kemudian pada (1+ 2 + 3 + … + 8)² dst. Untuk mendapatkan( 1 + 2 + … + 10)² = (1 + 2 + 3 + … + 8)² + 9³+ 10³= (1 + 2 + 3 + … + 7)² + 8³+ 9³+ 10³ = 1³+ 2³+3³+ … + 10³.

Akhirnya kita harus menyebutkan pengaruh Diophantus pada al-Karaji. Lima kitab pertama Diophantus’s Arithmetica telah diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh ibn Liqa pada sekitar tahun 870 dan ini dipelajari oleh al-Karaji. Woepcke dalam pengantar untuk Al-Fakhri menulis bahwa dia menemukan lebih dari sepertiga masalah buku pertama dari Diophantus, masalah buku kedua dimulai dengan kedelapan, dan hampir semua masalah buku ketigadimasukkan oleh al-Karaji di koleksinya.Al-Karaji juga menemukan banyak masalah barunya sendiri tapi bahkan orang-orang Diophantus pasti tidak hanya diambil tanpa pengembangan lebih lanjut.Dia selalu berusaha menggeneralisasi hasil Diophantus dan untuk menemukanmetode lebih umum yang berlaku.

Pada abad ke-10 M, peradaban Islam juga pernah memiliki seorang matematika yang tak kalah hebat dibandingkan Khawarizmi. Matematikawan Muslim yang namanya terbilang kurang akrab terdengar itu bernama Abul Wafa Al-Buzjani.

Abul Wafa adalah seorang saintis serba bisa. Selain jago di bidang matematika, ia pun terkenal sebagai insinyur dan astronom terkenal pada zamannya. Kiprah dan pemikirannya di bidang sains diakui peradaban Barat. Sebagai bentuk pengakuan dunia atas jasanya mengembangkan astronomi, organisasi astronomi dunia mengabadikannya menjadi nama salah satu kawah bulan. Dalam bidang matematika, Abul Wafa pun banyak memberi sumbangan yang sangat penting bagi pengembangan ilmu berhitung itu. “Abul Wafa adalah matematikawan terbesar di abad ke 10 M,” ungkap Kattani.

Betapa tidak. Sepanjang hidupnya, sang ilmuwan telah berjasa melahirkan sederet inovasi penting bagi ilmu matematika. Ia tercatat menulis kritik atas pemikiran Eucklid, Diophantos dan Al-Khawarizmi, sayang risalah itu telah hilang. Sang ilmuwan pun mewariskan Kitab Al-Kami yang membahas tentang ilmu hitung aritmatika praktis. Kontribusi lainnya yang tak kalah penting dalam ilmu matematika adalah Kitab Al-Handasa yang mengkaji penerapan geometri. Ia juga berjasa besar dalam mengembangkan trigonometri.

Abu Wafa tercatat sebagai matematikus pertama yang mencetuskan rumus umum sinus. Selain itu, sang matematikus pun mencetuskan metode baru membentuk tabel sinus. Ia juga membenarkan nilai sinus 30 derajat ke tempat desimel ke delapan. Yang lebih mengagumkan lagi, Abul Wafa membuat studi khusus tentang tangen serta menghitung sebuah tabel tangen.

Tentu Sobat pernah mengenal istilah secan dan cosecan juga di pelajaran matematika. Nah, ternyata Abul Wafa lah yang pertama kali memperkenalkan istilah matematika yang sangat penting itu. Abu Wafa dikenal sangat jenius dalam bi dang geometri. Ia mampu menyelasikan masalah-masalah geometri dengan sangat tangkas.

Sejatinya, ilmuwan serba bisa itu bernama Abu al-Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail Ibn Abbas al-Buzjani. Ia terlahir di Buzjan, Khurasan (Iran) pada tanggal 10 Juni 940/328 H. Ia belajar matematika dari pamannya bernama Abu Umar al- Maghazli dan Abu Abdullah Muhammad Ibn Ataba. Sedangkan, ilmu geometri dikenalnya dari Abu Yahya al-Marudi dan Abu al-Ala’ Ibn Karnib.

Abu Wafa memang fenomenal. Meski di dunia Islam modern namanya tak terlalu dikenal, namun di Barat sosoknya justru sangat berkilau. Tak heran, jika sang ilmuwan Muslim itu begitu dihormati dan disegani. Orang Barat tetap menyebutnya dengan nama Abul Wafa. Untuk menghormati pengabdian dan dedikasinya dalam mengembangkan astronomi namanya pun diabadikan di kawah bulan.

Di antara sederet ulama dan ilmuwan Muslim yang dimiliki peradaban Islam, hanya 24 tokoh saja yang diabadikan di kawah bulan dan telah mendapat pengakuan dari Organisasi Astronomi Internasional (IAU). Ke-24 tokoh Muslim itu resmi diakui IAU sebagai nama kawah bulan secara bertahap pada abad ke-20 M, antara tahun 1935, 1961, 1970 dan 1976. Salah satunya Abul Wafa.

Kebanyakan, ilmuwan Muslim diabadikan di kawah bulan dengan nama panggilan Barat. Abul Wafa adalah salah satu ilmuwan yang diabadikan di kawah bulan dengan nama asli. Kawah bulan Abul Wafa terletak di koordinat 1.00 Timur, 116.60 Timur. Diameter kawah bulan Abul Wafa diameternya mencapai 55 km. Kedalaman kawah bulan itu mencapai 2,8 km.

Lokasi kawah bulan Abul Wafa terletak di dekat ekuator bulan. Letaknya berdekatan dengan sepasang kawah Ctesibius dan Heron di sebelah timur. Di sebelah barat daya kawah bulan Abul Wafa terdapat kawah Vesalius dan di arah timur laut terdapat kawah bulan yang lebih besar bernama King. Begitulah dunia astronomi modern mengakui jasa dan kontribusinya sebagai seorang astronom di abad X.

Salah satu jasa terbesar yang diberikan Abul Wafa bagi studi matematika adalah trigonometri. Trigonometri berasal dari kata trigonon (tiga sudut) dan metro (mengukur). Ini adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.

Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Dalam trigonometri, Abul Wafa telah memperkenalkan fungsi tangen dan memperbaiki metode penghitungan tabel trigonometri. Ia juga turut memecahkan sejumlah masalah yang berkaitan dengan spherical triangles.

Secara khusus, Abul Wafa berhasil menyusun rumus yang menjadi identitas trigonometri. Inilah rumus yang dihasilkannya itu:

Selain itu, Abul Wafa pun berhasil membentuk rumus geometri untuk parabola, yakni:

Rumus-rumus penting itu hanyalah secuil hasil pemikiran Abul Wafa yang hingga kini masih bertahan. Kemampuannya menciptakan rumus-rumus baru matematika membuktikan bahwa Abul Wafa adalah matematikawan Muslim yang sangat jenius.

Umar Kayyam lahir pada tahun 1048 di Khurasan. Nama lengkapnya adalah Ghyasiddin Abul Fatih ibn Ibrahim al-Khayyam. Sejak kecil, Khayyam sudah memperoleh pendidikan yang baik dari orang tuanya. Salah seorang gurunya adalah Imam Muwaffak, seorang pendidik yang terkenal pada masa itu.

Umar Khayyam dikenal sebagai ilmuwan cerdas abad pertengahan. Ia memiliki nama besar di bidang matematika, astronomi, dan sastra. Sehubungan dengan itu, ia mendapat julukan Tent Maker dari para ilmuwan semasanya.

Kecemerlangan nama Umar Khayyam menarik perhatian Sultan Malik Syah. Pada suatu ketika, Sultan menawarkan kedudukan tinggi di istana pada Khayyam, namun ditolaknya dengan sopan. Khayyam lebih memilih menekuni dunia ilmu pengetahuan dari pada menjadi pejabat. Akhirnya, Khayyam pun diberi fasilitas oleh Sultan. Ia diberi dana yang besar untuk membiayai penelitian khususnya di bidang matematika dan astronomi.

Sultan juga mendirikan sebuah pusat observasi astronomi yang megah, tempat Khayyam mempersiapkan dan menyusun sejumlah tabel astronomi di kemudian hari. Di samping itu, Umar Khayyam juga diangkat menjadi ketua dari sekelompok sarjana yang terdiri dari delapan orang. Kedelapan orang sarjana tersebut adalah orang-orang pilihan Sultan yang ditunjuk untuk mengadakan sejumlah penelitian astronomi di Perguruan Tinggi Nizamiah, Baghdad.

Para ilmuwan inilah yang kemudian berhasil melakukan modifikasi terhadap perhitungan kalender muslim. Menurut perhitungan Khayyam, masa satu tahun adalah 365,24219858156 hari. Ia menghasilkan perhitungan yang sangat akurat hingga membuat para ilmuwan memuji kecerdasannya. Pada akhir abad XIX, para astronom menyatakan bahwa masa satu tahun adalah 365,242196 hari. Sementara itu, hitungan terakhir untuk masa satu tahun adalah 365,242190 hari. Sebuah nilai yang tidak jauh berbeda dari perhitungan Umar Khayyam berabad-abad sebelumnya.

Sejak tahun 1079, Umar Khayyam mulai menerbitkan hasil penelitiannya berupa tabel astronomi yang dikenal sebagai Zij Malik Syah. Adapun di bidang matematika, khususnya mengenai aljabar, ia juga menghasilkan sebuah karya, seperti al-Jabr (Algebra). Di kemudian hari, karya ini diedit dan diterjemahkan dalam bahasa Perancis. Al-Jabr dianggap sebagai sebuah sumbangan terbesar Umar Khayyam bagi negerinya dan perkembangan ilmu matematika.

Umar Khayyam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan persamaan tingkat satu (persamaan linier) dan memikirkan pemecahan masalah persamaan pangkat tiga secara ilmiah. Selain itu, Umar Khayyam juga telah memperkenalkan sebuah persamaan parsial untuk ilmu aljabar dan geometri. Ia membuktikan bahwa suatu masalah geometri tertentu dapat diselesaikan dengan sejumlah fungsi aljabar. Ia merupakan matematikawan pertama yang menemukan metode umum penguraian akar-akar bilangan tingkat tinggi dalam aljabar, dan memperkenalkan solusi persamaan kubus

Pada abad XVX dan XVII, persamaan semacam ini justru lebih banyak digunakan oleh para ahli matematika Eropa. Hal ini merupakan bukti bahwa Umar Khayyam dan pengikutnya, Nashiruddin al-Thusi, telah berhasil mendahului para ahli matematika Barat. Karya Khayyam lainnya adalah Jawami al-Hisab. Karya ini memuat referensi paling awal tentang Segitiga Pascal dan menguji balik postulat V yang menyangkut teori garis sejajar, suatu hal mengenai geometri Euclides yang sangat mendasar.

Sebagai seorang muslim, Umar Khayyam termasuk kelompok moderat. Ia mempunyai pandangan yang berbeda dengan kebanyakan muslim pada waktu itu. Dengan kemampuannya bersastra, Khayyam juga menulis sejumlah puisi yang menggambarkan kisah hidupnya. Puisi tersebut termuat dalam karyanya yang berjudul Rubaiyat. Kini, karya tersebut masih tersimpan di negeri kelahirannya. Sementara itu, karya sastra Khayyam yang lain telah banyak diterjemahkan dalam bahasa Inggris, antara lain oleh Fitz Gerald pada tahun 1839.

Nama lengkap al-Biruni adalah Abu al-Raihan Muhammad bin Ahmad al-Khawarizmi al-Biruni. Saintis ensiklopedis abad ke-9 ini dilahirkan di kota Khawarizmi, salah satu kota di wilayah Uzbekistan pada tahun 362 H (973 M). Adapun nama Al-Biruni berasal dari kata Birun dalam bahasa Persia yang berarti kota pinggiran.

Dinamakan demikian karena tanah kelahirannya terletak di pinggiran kota Kats yang merupakan pusat kota Khwarizm. Kota tersebut memang dahulu dikenal termasuk wilayah Persia. Sehingga, al-Biruni biasanya dikenal ilmuan dari Persia Timur.

Tradisi dan lingkungan di negeri al-Biruni mempengaruhi karakter dan keilmuannya. Pada waktu itu, merupakan masa-masa emas bidang sains Islam di wilayah Asia Tengah.

Ia hidup sezaman dengan Abu Nashr Manshur, astronom kenamaan asal Khurasan yang menguasai karya-karya klasik Yunani seperti Ptolomeus dan Menelaus. Al-Biruni bahkan pernah belajar langsung ilmu astronomi kepadanya. Gurunya Abu Nashr Manshur meskipun seorang pengkaji filsafat Yunani, akan tetapi framework pemikirannya tidak terpengaruh oleh filsafat paripatetik Yunani.

Frame ini diajarkannya kepada al-Biruni. Makanya al-Biruni dikenal cukup keras dan lugas menyikapi fenomena filsafat paripatetik Yunani. Dengan ajaran Gurunya itu, al-Biruni tampil sebagai kritikus yang keras terhadap filsafat Yunani. Ia pernah berkorespondensi dengan Ibn Sina, mendiskusikan tentang filsafat dan pengaruhnya terhadap cendekiawan muslim waktu itu (Sains dan Peradaban di Dalam Islam, halaman 115). Selain sezaman dengan dua ilmuan tersebut, al-Biruni juga semasa dengan al-Haitsam, seorang ilmuan muslim ahli fisika.

Ia termasuk ilmuan yang memiliki modal kecerdasan matematis. Al-Biruni senantiasa menolak segala asumsi yang lahir dari khayalan. Pemikirannya logis, tapi tidak pernah menafikan teologi. Al-Biruni adalah pelopor metode eksperimental ilmiah dalam bidang mekanika, astronomi, bahkan psikologi. Ia menghendaki agar setiap teori dilahirkan dari eksperimen dan bukan sebaliknya.

Al-Biruni termasuk saintis esiklopedis, karena pakar dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan. Memang tradisi para cendekiawan muslim dahulu adalah mereka tidak cukup puas menguasai dalam satu bidang ilmu saja. Al-Biruni selain dikenal sebagai seorang ahli matematika, juga menguasai bidang-bidang sains lainnya.

Sepanjang hidupnya, al-Biruni telah menghasilkan karya tidak kurang dari 146 buku (sebagian ahli bahkan mengatakan bahwa al-Biruni telah menulis 180 buku). Kebanyakan merupakan karya bidang astronomi yakni ada sekitar 35. Sisanya buku tentang astrologi, geografi, farmakologi, matematika, filsafat, agama, dan sejarah.

Bidang sains yang dikuasainya adalah astronomi, geodesi, fisika, kimia, biologi, dan farmakologi. Selain itu ia juga terkenal sebagai peneliti bidang filsafat, sejarah, sosiologi dan ilmu perbandingan agama. Tentang bidang sosial ini al-Biruni mendapat gelar seorang antropolog, karena penelitiannya yang serius tentang kehidupan keagamaan orang India.

Hasil risetnya dibukukan dengan judul Tahqiq maa lii al-Hindi min Maqulah Maqbulah fi Al-‘Aqli aw Mardzwilah dan Tarikh al-Hindi.

Di antara pencapaian intelektualnya tersebut, peletakan dasaar-dasar trigonometri merupakan prestasi besar al-Biruni di bidang matematika. Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang membahas tentang sudut segitiga.

Di dalamnya terdapat istilah-istilah trigonometrik, yaitu sinus, cosinus, dan tangen. Dasar-dasar dari teori trigonometrik ini ternyata telah lama dikenal oleh ilmuan muslim terdahulu abad kesembilan Masehi. Al-Biruni dikenal sebagai matematikawan pertama di dunia yang membangun dasar-dasar trigonometri.

Landasan-landasan trigonometrik tersebut kemudian dikembangkan ilmuan Barat. Dan diaplikasikan ke dalam beberapa cabang ilmu, seperti astronomi, arsitektur, dan fisika. Al-Biruni sendiri pernah mengaplikasikannya secara matematik untuk membolehkan arah kiblat ditentukan dari mana-mana tempat di dunia.

Meskipun ilmu trigonometri telah dikenal di Yunani, akan tetapi pematangannya ada di tangan al-Biruni. Ia mengembangkan teori trigonometri berdasarkan pada teori Ptolemeus. Hukum Sinus (The Sine Law) adalah temuannya yang memperbaiki teori Ptolemeus.

Hukum ini merupakan teori yang melampaui zamannya. Seperti yang popular dalam trigonometri modern terdapat hukum sinus. Hukum sinus ialah pernyataan tentang sudut segitiga. Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga dari 2 sudut dan 1 sisinya diketahui.

Prestasi al-Biruni lebih diakui daripada Ptolemeus karena dua alasan:

Pertama, teorinya telah memakai sinus sedangkan Ptolemeus masih sederhana, yaitu menggunakan tali atau penghubung dua titik di lingkaran (chord).

Kedua, teori trigonometri al-Biruni dan para saintis muslim penerusnya itu menggunakan bentuk aljabar sebagai pengganti bentuk geometris.

Rumus sinus dinyatakan rumus praktis dan lebih cainggih. Menggunakan logika matematika modern dan sangat dibutuhkan dalam perhitungan-perhitungan rumit tentang sebuah bangunan. Dunia arsitektur sangat memanfaatkannya untuk mengukur sudut-sudut bangunan. Ilmu astronomi juga diuntungkan. Dalam tradisi Islam, dimanfaatkan dalam ilmu falak, penghitungan bulan dan hari.

Penggunaan aljabar dalam teori trigonometri al-Biruni sangat dimungkinkan menggunakan teori aljabar Al-Khawrizmi, seorang matematikawan muslim asal Khawarizm. Ia merupakan generasi matematikawan asal Khurasan sebelum al-Biruni.

Menurut Raghib al-Sirjani, ilmu aljabar Al-Khawarizmi tidak hanya menginspirasi matematikawan Khurasan dan sekitarnya, seperti Abu Kamil Syuja al-Mishri, al-Khurakhi dan Umar Khayyam saja, akan tetapi karya agungnya Al-Jabar wa Muqabalah menjadi buku induk di universitas Eropa. Dan al-Biruni termasuk saintis pengkaji temuan Al-Khawarizmi tersebut.

Makanya, teori trigonometri modern al-Biruni sesungguhnya sangat berjasa terhadap ilmu aljabar Al-Khawarizmi. Sebab, berkat temuan al-Khawarizmi terutama temuannya tentang angka nol, al-Biruni mampu mengangkat ilmu trigonometri Ptolemeus menjadi teori yang berpengaruh hingga era matematika modern saat ini.

Al-Biruni juga menjelaskan sudut-sudut istimewa dalam segitiga, seperti 0, 30, 45, 60, 90. Penemuan ini tentu sangat memberi kontribusi terhadap ilmu-ilmu lainnya. Seperti ilmu fisika, astronomi dan geografi. Karena memang ilmu matematika merupakan dasar dari ilmu-ilmu astronomi dan fisika.

Oleh sebab itu, teori Ptolemeus sesunggunya masih sederhana dan belum bisa dikatakan sebagai trigonometri dalam ilmu matematika modern. Hukum sinus itulah merupakan hukum matematika penting dalam ilmu trigonometri.

Teori ini memberi kontribusi yang cukup besar terhadap pengembangan ilmu yang lain. Ia telah menggunakan kaedah penetapan longtitude untuk membolehkan arah kiblat ditentukan dari mana-mana tempat di dunia.

Di saat ia mencapai kematangan intelektual, al-Biruni banyak didukung oleh para sultan dan penguasa untuk mengembangkan keilmuannya untuk bidang astronomi dan fisika. Ia pernah menulis al-Qanun al-Mas’udi, karya tentang planet-planet atas dukungan Sultan Mas ’ud dan dihadiahkan kepadanya. Buku ini merupakan ensiklopedi astronomi yang paling besar, tebalnya lebih dari 1.500 halaman. Di dalamnya ia menentukan puncak gerakan matahari, memperbaiki temuan Ptolemeus.

Al-Biruni juga pernah tinggal dan bekerja untuk sebagian besar hidupnya di istana Sultan Mahmud, dan putranya, Mas’ud. Selama bergaul itulah al-Biruni banyak menghasilkan karya-karya astronomi dan matematika. Al-Biruni telah memberikan sumbangan multidimensi terhadap dunia sains. Karya-karya peninggalannya adalah bukti keluasan ilmunya terhadap berbagai disiplin sekaligus.

Selain mendapat pujian dari ummat Islam, al-Biruni juga mendapatkan penghargaan yang tinggi dari bangsa-bangsa Barat. Karya-karyanya melampaui Copernicus, Isaac Newton, dan para ahli Indologi yang berada ratusan tahun di depannya. Baik ulama maupun orientalis sama-sama memujinya.

Salah satu bentuk apresiasi ilmuan dunia hingga saat ini adalah pada tahun 1970, International Astronomical Union (IAU) menyematkan nama al-Biruni kepada salah satu kawah di bulan. Kawah yang memiliki diameter 77,05 km itu diberi nama Kawah Al-Biruni (The Al-Biruni Crater).

14.                        Al Batani

Al Batani lahir di Kota Harran. Satu kota di wilayah Urfa yang saat ini merupakan kawasan di negara Turki. Al Batani lahir pada 858 Masehi. Pendidikan pertama beliau, diperoleh dari ayahnya Jabir Ibnu San`an Al Batani. Ayahnya juga sangat terkenal sebagai ilmuwan di masa itu.

Setelah menyelesaikan pendidikannya di Harran, Al Batani kemudian pindah ke Raqqa. Hal ini karena Al Batani mendapatkan beasiswa dari Bank Euphrates. Di abad ke-9, dia lalu pindah ke Samarra dan bekerja di sana. Di kota inilah berbagai temuan-temuan Al Batani yang terkenal dan fenomenal dilahirkan.

Jasa Al Batani terhadap kalender Islam sangatlah besar. Di sini, Al-Batani mengusulkan teori baru dalam menentukan kondisi terlihatnya bulan baru, yang kita sebut sebagai hilal. Tak hanya itu, Al Batani juga berhasil mengubah sistem perhitungan sebelumnya yang membagi satu hari ke dalam 60 bagian (jam) menjadi 12 bagian (12 jam), dan setelah ditambah 12 jam waktu malam sehingga berjumlah 24 jam.

Sudut kemiringan bumi terhadap matahari saat berotasi juga ditemukan oleh Al Batani, yaitu sebesar 23o35`. Bahkan lamanya bumi berevolusi terhadap matahari, secara akurat mampu dihitung Al Batani sebanyak 365 hari, 5 jam, 46 menit, dan 24 detik.

Sejumlah karya Al Batani tentang astronomi, terlahir dari buah pikirnya. Salah satu karyanya yang paling populer adalah “al-Zij al-Sabi”. Kitab ini banyak dijadikan rujukan para ahli astronomi Barat selama beberapa abad. Di dalam buku ini ditulis berbagai penemuannya, seperti penentuan perkiraan awal bulan baru, perkiraan panjang matahari, koreksian hasil kerja Ptolemeus mengenai orbit bulan, dan planet-planet tertentu.

Di buku “al-Zij al-Sabi” juga Al-Batani mengembangkan metode untuk menghitung gerakan dan orbit planet-planet. Tak heran, buku ini memiliki peran utama dalam merenovasi astronomi modern yang berkembang di Eropa. Tokoh-tokoh astronomi Eropa seperti Copernicus, Regiomantanus, Kepler, dan Peubach konon bisa berhasil dalam ilmu astronomi berkat jasa Al Batani. Bahkan Copernicus dalam bukunya `De Revoltionibus Orbium Clestium` mengaku berutang budi pada Al-Batani.

Sejumlah istilah-istilah dalam ilmu astronomi banyak yang muncul pertama kali dari mulut Al Batani. Misalnya saja seperti azimuth, zenith, dan nadir.

Buku fenomenal lainnya karya Al-Batani banyak diterjemahkan negara-negara barat. Misalnya saja buku “De Scienta Stelarum De Numeris Stellarum”. Buku itu hingga sekarang masih disimpan di Vatikan, Roma, Italia. Buku ini kini diterjemahkan dalam berbagai Negara, yang tersebar secara luas tak hanya di daratan Eropa saja, tetapi mencapai benua Amerika, Asia, Afrika, dan Australia.

Dalam bidang matematika, Al Batani banyak berperan dalam hal trigonometri. Istilah, pengertian, dan sejumlah rumus sinus dan cotangen berhasil diuraikannya dengan sempurna, lengkap dengan tabel-tabelnya dalam bentuk derajat-derajat sudut.

Atas jasa-jasanya di bidang astronomi, nama Al Batani dijadikan nama salah satu kawah yang ada di bulan. Nama kawah tersebut adalah kawah Albategnius. Al Batani meninggal dunia pada 929 Masehi di Kota Qasr al Jiss, satu kota di wilayah Samarra. Konon, ia meninggal saat pulang dari Kota Bagdad

�

Namanya Leonhard Euler ,�wajahnya seperti foto disamping lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Dia diterima masuk Universitas Basel tahun 1720 ketika umurnya baru 13 tahun. Mula-mula Euler belajar teologi (ilmu yang mempelajari segala sesuatu yang berkaitan dengan mata pelajaran matematika).

Dia peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel umur 17 tahun. Dan saat usianya 21 tahun, Euler sudah menerima undangan Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg.

Diumur 23 tahun, dia menjadi guru besar fisika dan matematika , dan saat usia 26 tahun Euler ditunjuk untuk menggantikan posisi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikus masyhur Daniel Bernoulli.

Menurut buku yang berjudul “Seratus Tokoh yang Paling Berpengaruh dalam Sejarah” yang dikarang oleh Michael H. Hart, pada abad ke-17 di negara Swiss ada seorang yang ahli pelajaran matematika (matemaikus) yang sekaligus seorang ahli dalam bidang fisika. .

Ia dikenal sebagai ilmuwan terkemuka sepanjang masa. Hasil karyanya mempengaruhi penggunaan semua bidang fisika dan matematika. Ia pernah menulis 32 buku lengkap dan beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan.

Rumus dasar yang dipakai oleh Jospeh Louis itu adalah rumusnya Euler. Makanya sampai sekarang, rumus itu dikenal dengan rumus Euler-Lagrange.
Dalam urusan matematika, Euler khusus tertarik di bidang kalkulus, rumus diferensial, dan ketidak terbatasan suatu jumlah . Sumbangannya di bidang variasi kalkulus dan terhadap teori tentang kekompleksan jumlah merupakan dasar dari semua perkembangan matematika modern yang digunakan sampai sekarang.

Akhirnya, Euler memberi sumbangan penting buat sistem lambang jumlah matematik masa kini. Misalnya, dia bertanggung jawab untuk penggunaan umum huruf Yunani untuk menerangkan rasio antara keliling lingkaran terhadap diameternya . Dia juga memperkenalkan banyak sistem tanda yang cocok yang kini umum dipakai di bidang matematika.Dari rumus formula Euler juga akhirnya ditemukan hubungan antara fungsi trigonometri dan jumlah imaginer . Rumus ini juga berhasil menemukan logaritma tentang jumlah negatif. Euler juga menulis sebuah textbook tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting dalam bidang geometri diferensial dan geometri biasa.

Beikut nama-nama penemu matematika lainnya :

1. Thales

Matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid.

2. Pythagoras�

Mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Pythagoras menemukan sebagai bilangan irrasional.

3. Socrates�

Filosofi besar dari Yunani. Pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli pikir pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides�

Beliau disebut sebagai “Bapak Geometri”  karena menemukan teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka yang sering kita gunakan.

5. Archimedes

Beliau mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

6. Appolonius

Beliau mengemukakan konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan yang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

7. Diophantus�

Diophantus  merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang sistem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.

8.    Aristoteles

Aristoteles seorang filosof dan ilmuwan terbesar dalam dunia masa lampau. Dia memelopori penyelidikan ihwal logika, memperkaya hampir tiap cabang falsafah dan memberi sumbangsih tak terperikan besarnya terhadap ilmu pengetahuan.

Banyak ide-ide Aristoteles kini sudah ketinggalan jaman. Tetapi yang paling penting dari apa yang pernah dilakukan Aristoteles adalah pendekatan rasional yang senantiasa melandasi karyanya. Tercermin dalam tulisan-tulisan Aristoteles sikapnya bahwa tiap segi kehidupan manusia atau masyarakat selalu terbuka untuk obyek pemikiran dan analisa. Pendapat Aristoteles, alam semesta tidaklah dikendalikan oleh serba kebetulan, oleh magi, oleh keinginan tak terjajaki kehendak dewa yang terduga, melainkan tingkah laku alam semesta itu tunduk pada hukum-hukum rasional. Kepercayaan ini menurut Aristoteles diperlukan bagi manusia untuk mempertanyakan tiap aspek dunia alamiah secara sistematis dan kita mesti memanfaatkan baik pengamatan empiris dan alasan-alasan yang logis sebelum mengambil keputusan. Rangkaian sikap-sikap ini –yang bertolak belakang dengan tradisi, takhyul dan mistik– telah mempengaruhi secara mendalam peradaban Eropa.

9.  Albert Einstein

Albert Einstein adalah seorang ilmuwan terhebat abad ke-20. Cendekiawan tak ada tandingannya sepanjang jaman. Termasuk karena teori “relativitas”-nya. Sebenarnya teori ini merupakan dua teori yang bertautan satu sama lain: teori khusus “relativitas” yang dirumuskannya tahun 1905 dan teori umum “relativitas” yang dirumuskannya tahun 1915, lebih terkenal dengan hukum gaya berat Einstein. Kedua teori ini teramat rumitnya, karena itu bukan tempatnya di sini menjelaskan sebagaimana adanya, namun uraian ala kadarnya tentang soal relativitas khusus ada disinggung sedikit. Pepatah bilang, “semuanya adalah relatif.” Teori Einstein bukanlah sekedar mengunyah-ngunyah ungkapan yang nyaris menjemukan itu. Yang dimaksudkannya adalah suatu pendapat matematik yang pasti tentang kaidah-kaidah ilmiah yang sebetulnya relatif. Hakikatnya, penilaian subyektif terhadap waktu dan ruang tergantung pada si penganut. Sebelum Einstein, umumnya orang senantiasa percaya bahwa dibalik kesan subyektif terdapat ruang dan waktu yang absolut yang bisa diukur dengan peralatan secara obyektif. Teori Einstein menjungkir-balikkan secara revolusioner pemikiran ilmiah dengan cara menolak adanya sang waktu yang absolut. Contoh berikut ini dapat menggambarkan betapa radikal teorinya, betapa tegasnya dia merombak pendapat kita tentang ruang dan waktu.

10. Isaac Newton

Isaac Newton, ilmuwan paling besar dan paling berpengaruh yang pernah hidup di dunia, lahir di Woolsthrope, Inggris, tepat pada hari Natal tahun 1642, bertepatan tahun dengan wafatnya Galileo. Seperti halnya Nabi Muhammad, dia lahir sesudah ayahnya meninggal. Di masa bocah dia sudah menunjukkan kecakapan yang nyata di bidang mekanika dan teramat cekatan menggunakan tangannya. Meskipun anak dengan otak cemerlang, di sekolah tampaknya ogah-ogahan dan tidak banyak menarik perhatian. Tatkala menginjak akil baliq, ibunya mengeluarkannya dari sekolah dengan harapan anaknya bisa jadi petani yang baik. Untungnya sang ibu bisa dibujuk, bahwa bakat utamanya tidak terletak di situ. Pada umurnya delapan belas dia masuk Universitas Cambridge. Di sinilah Newton secara kilat menyerap apa yang kemudian terkenal dengan ilmu pengetahuan dan matematika dan dengan cepat pula mulai melakukan penyelidikan sendiri. Antara usia dua puluh satu dan dua puluh tujuh tahun dia sudah meletakkan dasar-dasar teori ilmu pengetahuan yang pada gilirannya kemudian mengubah dunia.

11.  Neils Bohr

Niels Henrik David Bohr yang lahir tahun 1885 di Kopenhagen. Di tahun 1911 dia raih gelar doktor fisika dari Universitas Copenhagen. Tak lama sesudah itu dia pergi ke Cambridge, Inggris. Di situ dia belajar di bawah asuhan J.J. Thompson, ilmuwan kenamaan yang menemukan elektron. Hanya dalam beberapa bulan sesudah itu Bohr pindah lagi ke Manchester, belajar pada Ernest Rutherford yang beberapa tahun sebelumnya menemukan nucleus (bagian inti) atom. Adalah Rutherford ini yang menegaskan (berbeda dengan pendapat-pendapat sebelumnya) bahwa atom umumnya kosong, dengan bagian pokok yang berat pada tengahnya dan elektron di bagian luarnya. Tak lama sesudah itu Bohr segera mengembangkan teorinya sendiri yang baru serta radikal tentang struktur atom.

12.  Johannes Kepler

Peduli setan dengan planit-planit! Peduli setan dia mau berputar, merosot, tabrakan, terjungkal! Tetapi tidak “peduli setan” buat Johannes Kepler yang lahir tahun 1571 di kota Weil der Stadt, Jerman, penemu hukum pergerakan planit-planit. Penemuan Kepler in cuma dua puluh delapan tahun sesudah penerbitan buku De revolutionibus orbium coelestium, buku besar yang di dalamnya memuat teori Copernicus bahwa planit-planit berputar mengitari mentari dan bukannya mengitari bumi. Kepler belajar di Universitas Tubingen, peroleh gelar sarjana muda tahun 1588 dan gelar sarjana penuh tiga tahun kemudian. Umumnya para ilmuwan saat itu menolak teori “heliocentris” Copernicus; tetapi, ketika Kepler di Tubingen dia dengar hipotesa heliocentris itu dan memperincinya dengan kecerdasan tinggi, akhirnya dia mempercayainya.

13.  John Dalton

John Dalton-lah ilmuwan Inggris yang di awal abad ke-19 mengedepankan hipotesa atom ke dalam kancah ilmu pengetahuan. Dengan perbuatan ini, dia menyuguhkan ide kunci yang memungkinkan kemajuan besar di bidang kimia sejak saat itu. Dia bukanlah orang pertama yang beranggapan bahwa semua obyek material terdiri dari sejumlah besar partikel yang teramat kecil dan tak terusakkan yang disebut atom. Pendapat ini sudah pernah diajukan oleh filosof Yunani kuno, Democritus (360-370 SM?), bahkan mungkin lebih dini lagi. Hipotesa itu diterima oleh Epicurus (filosof Yunani lainnya), dan dikedepankan secara brilian oleh penulis Romawi, Lucretius (meninggal tahun 55 SM), dalam dia punya syair yang masyhur “De rerum natura” (Tentang hakikat benda).

16. Thomas Malyus

Mulanya dia tak lebih dari seorang pendeta yang samasekali tak dikenal. Tetapi tahun 1798 pendeta Inggris yang namanya Thomas Robert Malthus itu terbitkan sebuah buku walau tipis namun berpengaruh sangat. Judulnya An Essay on the Principle of Population as it Affects the Future Improvement of Society.

17. Enrico Fermi

Dia lulus dengan cemerlang dan terima gelar Ph.D. dalam bidang fisika dari Universitas Pisa sebelum umurnya mencapai dua puluh satu tahun. Dia itu, Enrico Fermi, perancang reaktor atom pertama yang lahir tahun 1901 di Roma, Itali. Menjelang usia dua puluh enam tahun dia sudah jadi profesor penuh di Universitas Roma. Dan sementara itu dia sudah menerbitkan kertas kerja utamanya, salah satunya berkaitan dengan cabang fisika yang sulit serta mendalam yang disebut “statistik kuantum.”

Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ahli matematika dan fisika bangsa ingris dan Gottifred Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit^.Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah:

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))
6. Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)²)
5. Turunan Fungsi Trigonometri
6. d/dx ( sin x ) = cos x
7. d/dx ( cos x ) = – sin x
8. d/dx ( tan x ) = sec²x
9. d/dx ( cot x ) = – csc²x
10. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
11. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x
12. Turunan Fungsi Invers

(f^-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy

2.2  Rumus-rumus Turunan Fungsi Matematika

Untuk memudahkan belajar, berikut rumus hitung rangkumkan berbagai rumus rumus turunan.

1. Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real, maka dy/dx = cn xn-1

Contoh :

y = 2 x 4 maka dy/dx = 4.2×4-1 = 8×3

kadang ada soal yang memakai pangkat pecahan atau akar

y =  = 2 x^1/2 turunannya adalah  ( = x- =

1. Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0

Contoh Jika y = 6  maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

1. Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f’(x) + g’(x)

Contoh :

y = x³ + 2 x² maka y’ = 3 x² + 4x

y = 2x⁵ + 6 maka y’ = 10x⁴ + 0 = 10x⁴

1. Rumus 4 : Turunan perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f’(x).g(x) + g’(x).f(x)

contoh :

y = x² (x² + 2) maka

f(x) = x²

f’(x) = 2x

g(x) = x² + 2

g’(x) = 2x

Kita masukan ke rumus y’ = f’(x).g(x) + g’(x). F(x)

y = 2x (x² + 2) + 2x.x²

y = 4x³ + 4x

Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari

Topik ini merupakan topik terakhir dari materi turunan. Pada topik ini, kita akan belajar bagaimana memodelkan dan menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan turunan. Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dari fungsi y=f(x) diperoleh untuk x yang memenuhi persamaan f′(x)=0. Jikax=a adalah nilai xyang memenuhi persamaan f′(x)=0, maka (a,f(a)) adalah titik ekstrim fungsi y=f(x) dan f(a)adalah nilai ekstrim fungsi y=f(x).
Jenis nilai ekstrim fungsi dapat ditentukan sebagai berikut.

Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika:

f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0.

Nilai ekstrim akan merupakan nilai minimum jika:

f ‘(x) = 0 dan f “ (x) > 0.

Contoh 1

Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h = f (t)

(dalam meter) padat sekon dimodelkan dengan f (t) = 16t2 + 200 t + 4.

Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon.

Penyelesaian:

Diketahui ketinggian kembang api saat t sekon adalah: f (t) = 16t2 + 200 t + 4

Kecepatan luncur kembang api diperoleh turunan pertama dari fungsi

ketinggian (posisi) kembang api sebagai berikut :

f ‘ (t) = 32t+ 200 ⇔f ‘ (3) = 32(3) +200 = 296

Jadi, kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon adalah 296 m/s.

Contoh 2

Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya x³ –

600x^2�+ 112.500 x rupiah. Berapa unit barang yang harus diproduksi setiap

harinya supaya biaya produksi menjadi minimal?

Penyelesaian:

Misalkan biaya produksi per hari adalah p(x), maka biaya produksi akan

minimum untuk nilai x yang memenuhi persamaan p′(x)=0 dan p′′(x)>0.

p′(x)=0

⇔3x²−1.200x+112.500=0

⇔x²−400x+37.500=0

⇔(x−150)(x−250)=0

⇔x=150 atau x=250

Oleh karena p′′(x)=6x−1.200 dan p′′(250)=6(250)−1.200=300>0, maka

jumlah barang yang harus diproduksi tiap harinya agar biaya minimum adalah

250 unit.

Contoh 3

Sebuah bola tenis ditembakkan ke atas. Jika tinggi bola tenis (cm) dari

permukaan tanah setelah t detik dirumuskan dengan h(t)=120t−5t2, maka

tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis tersebut.

Penyelesaian:

Bola tenis akan mencapai ketinggian maksimum dari permukaan tanah

untuk t yang memenuhih′(t)=0 dan h”(t)<0

h′(t)=0

⇔120−10t=0

⇔10t=120

⇔t=12

Oleh karena h “ (x) = -10 < 0, maka bola tenis akan mencapai ketinggian

maksimum dari permukaan tanah. Selanjutnya dengan mensubtitusikan

t=12 ke h(t) diperoleh

h(12)=120(12)−5(12)2=720.

Dengan demikian, tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis adalah 720

cm.

Contoh 4

Sebuah perusahaan peralatan dapur memproduksi x unit barang dengan

biaya (x²−70x+250) ribu rupah. Jika pendapatan setelah semua barang habis

terjual adalah 100x ribu rupiah, maka hitung keuntungan maksimum yang

dapat diperoleh perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan keuntungan perusahaan adalah f(x), sehingga:

f(x)= pendapatan–biaya.produksi

⇔f(x)=100x−(x²−70x+250)

⇔f(x)=−x²+170x−250

Keuntungan maksimum akan diperoleh untuk nilai x yang

memenuhi f′(x)=0 dan f”(x)<0

f′(x)=0

⇔−2x+170=0

⇔2x=170

⇔x=85

Oleh karena f “ (x) = -2 < 0, maka keuntungan yang diperoleh adalah

maksimum.

Besar keuntungan pada saat x=85 adalah f(85)=−852−70(85)+250=175.

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan adalah 175.000 rupiah.

Pengertian Bangun Ruang

Bangun ruangadalah bangun matematika yang mempunyai isi atau Volume. Bangun ruang sering juga disebut bangun 3 dimensi karena memiliki 3 komponen utama sebagai berikut.
Bagian-bagian bangun ruang :

• Sisi :bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangansekitarnya
• Rusuk :pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun ruang.
• Titik sudut :titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.

Jenis-Jenis Bangun Ruang yang umum dikenal adalah:

1. Kubus
2. Balok
3. Prisma
4. Limas
5. Kerucut
6. Tabung
7. Bola

Merupakan bangun yang dibatasi oleh 6 sisi yang sama dan sebangun.

Ciri-ciri KUBUS, antara lain :

Ø  Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen),

Ø  Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi,

Ø  Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang,

Ø  Kubus mempunyai 8 titik sudut,

Ø  Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.

Rumus Luas Permukaan Kubus

L  =  6 x r²

        L  :  luas permukaan

        r  :  panjang rusuk

Rumus Volume Kubus

V  =  r³

        V  :  Volume

        r   :  panjang rusuk

Merupakan bangun yang dibatasi oleh 6 sisi yang mempunyai ukuran panjang dan lebar

Ciri-ciri BALOK,antara lain:

Ø  Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjang dimana 3 persegi panjang kongruen,

Ø  Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang,

Ø  Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen,

Ø  Balok mempunyai 12 rusuk,

Ø  4 buah rusuk yang sejajar sama panjang,

Ø  Balok mempunyai 8 titik sudut,

Ø  Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Balok

L  =  2 x [ (p x l) + (p x t) + (l x t) ]

L   :  luas permukaan

p   :  panjang balok

l    :  lebar balok

t    :  tinggi balok

Rumus Volume Balok

V  =  p x l x t

      V     :  volume balok

      p     :  panjang balok

      l      :  lebar balok

      t      :  tinggi balok

Merupakan bangun yang dibatasi oleh 6 sisi yang mempunyai ukuran panjang dan lebar

Ciri-ciri PRISMA, antara lain:

Ø  Prisma merupakan bangun ruang yang alas dan atasnya kongruen dan sejajar,

Ø  Rusuk prisma alas dan atas yang berhadapan sama dan sejajar,

Ø  Rusuk tegak prisma sama dan sejajar,

Ø  Rusuk tegak prisma tegak lurus dengan alas dan atas prisma,

Ø  Rusuk tegak prisma disebut juga tinggi prisma,

Ø  Prisma terdiri dari prisma segitiga dan prisma beraturan.

Ø  Prisma segitiga mempunyai bidang alas dan bidang atas berupa segitiga yang kongruen.

Ø  Prisma segitiga mempunyai 5 sisi.

Ø  Prisma segitiga mempunyai  9 rusuk

Ø  Prisma segitiga mempunyai 6 titik sudut

Ø  Jaring-jaring prisma segitiga berupa 2 segitiga, dan 3 persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Prisma Segitiga

L  =  Keliling ∆  x  t  x ( 2 x Luas ∆)

L          :  luas permukaan

∆          :  alas dan atas segitiga

t           :  tinggi prisma

Volume Prisma Segitiga

V  =  Luas Alas  x  t�

V                 :  Volume

Luas Alas  :  Luas ∆   =  ( ½ a x t )

t                  :  tinggi prisma

Merupakan bangun yang dibatasi oleh sisi yang berbentuk segitiga

Ciri-ciri LIMAS,antara lain:

Ø  Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak dan dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga yang akan bertemu pada satu titik,

Ø  Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya,

Ø  Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan,

Ø  Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas,

Ø  Macam-macam bentuk limas, antara lain:

1. Limas segitiga     ( alasnya berbentuk segitiga )
2. Lima segiempat  ( alasnya berbentuk segi empat )
3. Limas segilima    ( alasnya berbentuk segilima )
4. Limas segienam  ( alasnya berbentuk segienam )Rumus Luas Permukaan LimasL =  luas alas + luas selubung limas

   Rumus Volume Limas

   V =   1/3 ( luas alas  x  t )

   V         :  volume limas

   t          :  tinggi limas

   Merupakan bangun yang dibatasi oleh alas yang berbentuk lingkaran dan selimut yang berbentuk lengkung

   Ciri-ciri KERUCUT,antara lain:

   Ø  Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran,

   Ø  Kerucut mempunyai 2 sisi,

   Ø  Kerucut tidak  mempunyai rusuk,

   Ø  Kerucut mempunyai 1 titik sudut,

   Ø  Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga.

   Rumus Luas Kerucut

   L  =   π r² + π dxt

   L      :  luas permukaan

   r      :  jari-jari lingkaran alas

   d     :  diameter lingkaran alas

   t      :  tinggi kerucut

   Rumus Volume Kerucut

   V = 1/3  ( π r²  x  t )

   V   :  volume

   r    :  jari-jari lingkaran alas

   t    :  tinggi kerucut

   Merupakan bangun yang dibatasi oleh sisi lengkung dan buah lingkaran

   Ciri-ciri TABUNG, antara lain:

   Ø  Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan bidang alas dan atas berupa lingkaran,

   Ø  Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran atas,

   Ø  Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung,

   Ø  Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi panjang.

   Rumus Luas Permukaan Tabung

   L  =  2 x ( π r² ) + π d x t

   L    :  luas permukaan

   r    :  jari-jari lingkaran alas

   d   :  diameter lingkaran alas

   t    :  tinggi tabung

   Rumus Volume Tabung

   V =  1/3  (luas alas x t)

   V            :   Volume

   luas alas  :  π r²

   r              :jari-jari alas
   t              :  tinggi tabung

   Merupakan bangun yang dibatasi oleh sisi lengkung

   Ciri-ciri BOLA, antara lain:

   Ø  Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya,

   Ø  Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat,

   Ø  Sisi bola disebut dinding bola,

   Ø  Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk,

   Ø  Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari,

   Ø  Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter.

   Rumus Luas Permukaan Bola

   L  =  4  π  r²

   L    :  luas permukaan

   r    :  jari-jari bola

   Rumus Volume Bola

   V  =  ⁴/₃  π  r³

   V     :  volume

   r      : jari-jari bola